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《應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及其推論解題例析》由會員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、--WORD格式--可編輯--專業(yè)資料--http://www.czsx.com.cn應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及其推論解題例析三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論1:直角三角形的兩個銳角互余;推論2:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和;推論3:三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。以上關(guān)于三角形的內(nèi)角和定理及其推論在解題中有比較廣泛的應(yīng)用,下面舉例說明。一、求角度的大小例1:在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則∠C=_______。解:依題意,不妨設(shè)∠A=x,則∠B=2x,∠C=3x,因此由三角形的內(nèi)角和定理可得
2、:x+2x+3x=180°,解之得:x=30°,故∠C=3x=90°。例2:如圖1,已知∠1=20°,∠=25°,∠A=35°,則∠BDC的度數(shù)為_______。ACDD11BABCE圖1圖2解:在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°,∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠1+∠2)=145°-(20°+25°)=100°.在△BDC中,∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°.例3:如圖2,在直角三角形ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于E,交AC于D。若∠B=53°,則
3、∠CDE=_______.解:∵△ABC是直角三角形,∠B=53°,∴由三角形內(nèi)角和定理的推論1,得∠A=90°-53°=37°。再由三角形內(nèi)角和定理的推論2,得∠CDE=∠A+∠AED=37°+90°=127°。二、求多角的和例4:如圖3,一個任意的五角星,它的五個角(∠A、∠B、∠C、∠D、∠E)的和為()A.50°B.100°C.180°D.200°--WORD格式--可編輯---精品資料分享----WORD格式--可編輯--專業(yè)資料--第1頁共11頁--WORD格式--可編輯---精品資料分享----WORD格式--可編輯--專業(yè)資料--htt
4、p://www.czsx.com.cnAA12C12DBEBECD圖3圖4解:由推論2知,∠2=∠B+∠D,∠1=∠C+∠E;又由定理知:∠1+∠2+∠A=180°,即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,故本題應(yīng)選C。例5:如圖4,已知∠A=60°,求∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)。解:由題設(shè)可知,∠B+∠C=180°-∠1,∠D+∠E=180°-∠2,∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°-(∠1+∠2)∵∠1+∠2=180°-∠A=120°,∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°-120°=240°.三、求角的取值范圍例6:如圖5,在△ABC中,∠A>∠
5、B>∠ACB,延長AC到D,求∠BCD的取值范圍。AADBCBCDE圖5圖6解:∵∠A>∠ACB,∠B>∠ACB,∴∠A+∠B>2∠ACB,∵∠A+∠B=180°-∠ACB,∴180°-∠ACB>2∠ACB,∴∠ACB<60°∵∠BCD+∠ACB=180°,∴∠BCD>120°,∴120°<∠BCD<180°.四、證角相等例7:如圖6,求證:∠BDC=∠A+∠B+∠C。析與證:由于在已知圖形中沒有三角形,因此要想利用三角形內(nèi)角和定理及其推論證明結(jié)論成立,必須添加輔助線,構(gòu)成證題所需的三角形。連結(jié)AD并延長到E,如圖6中所示,則有∠BDE=∠BAD+∠B
6、,∠CDE=∠CAD+∠C,∴∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C,即∠BDC=∠A+∠B+∠C。--WORD格式--可編輯---精品資料分享----WORD格式--可編輯--專業(yè)資料--第2頁共11頁--WORD格式--可編輯---精品資料分享----WORD格式--可編輯--專業(yè)資料--http://www.czsx.com.cn五、證角不等例8:如圖7,已知P是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn),求證:∠BPC>∠A。ACDEPBCDAB圖7圖8析與證:為了使∠BPC與∠A有聯(lián)系,可延長BP交AC于D,于是由推論3知,∠BPC>∠PDC,而∠PD
7、C>∠A,故∠BPC>∠A。六、判斷三角形的形狀例9:在△ABC中,∠A=1∠B=1∠C,試判斷三角形的形狀。23解:∵∠A=1∠B=1∠C,∴∠B=2∠C,233又∠A+∠B+∠C=180°,∴1∠C+2∠C+∠C=180°,33∴∠C=90°,∴△ABC為直角三角形。七、解實(shí)際問題例10:一個零件的形狀如圖8所示,按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°,∠B和∠C應(yīng)分別是32°和21°。檢驗(yàn)工人量得∠BDC=148°,就可以確定這個零件不合格,請你運(yùn)用三角形的有關(guān)知識說明零不合格的理由。解:根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及其推論,可連結(jié)AD,并延長到E?!摺螩DE=∠CAD
8、+∠C,∠BDE=∠DAB+∠B,∴∠CDB=∠CAD+∠DAB+∠B+∠C。如果零件合格,那