函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想

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1、函數(shù)解題方法與技巧之四函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想思想方法概述1.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．2.數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問(wèn)題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根

2、的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式；題型一數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)的最值問(wèn)題中的應(yīng)用例1設(shè)，是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是分析：本題為復(fù)合函數(shù)，相當(dāng)于中的的值，結(jié)合函數(shù)的圖象，可以求得的值域。-101xy解析：作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域[來(lái)源:學(xué),科,網(wǎng)]為，而為復(fù)合函數(shù)，相當(dāng)于中的的值，所以的值域是，故選B。【點(diǎn)評(píng)】：本題中的復(fù)合函數(shù)要轉(zhuǎn)化為原函數(shù)和的信息，結(jié)合函數(shù)的圖象更為直觀地找到它們之間的

3、關(guān)系。而不必探究二次函數(shù)的解析式。例2對(duì)a,bR,記max

4、a,b

5、=函數(shù)f（x）＝max

6、

7、x+1

8、,

9、x－2

10、

11、(xR)的最小值是　　　。解析：由，故，其圖象如右，則?！军c(diǎn)評(píng)】：數(shù)學(xué)中考查創(chuàng)新思維，要求必須要有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查新定義函數(shù)的理解、解絕對(duì)值不等式，中檔題，借形言數(shù)。例3求函數(shù)的最小值。解析：??的值是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)A(0,2)與B(-1,0)的距離之和。由圖知（圖略），當(dāng)且僅當(dāng)P與B重合（即x=-1）時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】：仔細(xì)觀察方程的結(jié)構(gòu)聯(lián)想幾何公示的形式是實(shí)現(xiàn)數(shù)到形轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。本題型根據(jù)結(jié)構(gòu)聯(lián)想

12、到兩點(diǎn)間的距離公式，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)到距離的轉(zhuǎn)化。題型二數(shù)形結(jié)合思想在解決方程的根的個(gè)數(shù)、不等式解集的問(wèn)題中的應(yīng)用例4(1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2.則方程f(x)＝lgx解的個(gè)數(shù)是.(2)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式<0的解集為.變式訓(xùn)練1若定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4變式訓(xùn)練2已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0

13、)cosx<0的解集是.變式訓(xùn)練3若滿足，滿足，則+=探究提高(1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)．(2)解不等式問(wèn)題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來(lái)解決不等式的解的問(wèn)題，往往可以避免

14、繁瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答．(3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱性；最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)．例5已知函數(shù)f(x)=,若0，【點(diǎn)評(píng)】：對(duì)于函數(shù)的圖象要熟悉，利用數(shù)形結(jié)合解答函數(shù)的選擇題比較形象直觀，容易找到關(guān)系。已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,

15、且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【解析】:因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以,由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知所以答案:-8【命題立意】:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,對(duì)稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方

16、程問(wèn)題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題.題型三　數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)、代數(shù)式的取值范圍中的應(yīng)用例6若直線y=2a與函數(shù)y=

17、-1

18、(a>0,且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是______.解析當(dāng)a>1時(shí)，如圖①,只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)0