培優(yōu)訓練題3

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1、1．設(shè)正項數(shù)列{an}（n≥5）對任意正整數(shù)k（k≥3）恒滿足：，且．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）是否存在整數(shù)，使得對于任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。（注：）2．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè),是數(shù)列的前項和，證明．試卷第5頁，總6頁3．已知數(shù)列滿足：，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）（?。┳C明：當時，；（ⅱ）若正整數(shù)滿足，求的值．試卷第5頁，總6頁4．已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明（）

2、.5．已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項公式；試卷第5頁，總6頁（2）設(shè)的第項是最大項，即（），求證：數(shù)列的第項是最大項；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.6．已知數(shù)列的前項和為，首項，且對于任意都有．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，且數(shù)列的前項之和為，求證：試卷第5頁，總6頁7．數(shù)列的通項是關(guān)于的不等式的解集中正整數(shù)的個數(shù)，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）求證：對且恒有．試卷第5頁，總6頁8．設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項；③．設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為，

3、即是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3．（Ⅰ）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項之和；（Ⅲ）若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項和．試卷第5頁，總6頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。參考答案1．（1）an=n（2）【解析】試題分析：（1）本題中求通項公式時首先由數(shù)列前幾項猜測數(shù)列的通項公式，然后用數(shù)學歸納法證明對于任意正整數(shù)都成立（2）中首先

4、由求得的值，再由數(shù)學歸納法證明恒成立試題解析：（1）當k=3時，a1=1；當k=4時，a2=2；當k=5時，a3=3；猜想：an=n．2分①當n=1時，a1=1，成立；②假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即有ak=k，則當n=k+1時，由于所以而，ak=k，得ak+1=k+1，所以當n=k+1時，結(jié)論成立；由①②可知：an=n．8分（2）若存在整數(shù)，使得對于任意正整數(shù)n恒成立，則當n=1，n=2時有13=1，，得。猜想，10分①當n=1時，成立；②假設(shè)當n=k時，結(jié)論成立，，答案第11頁，總11頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校

5、對后使用，答案僅供參考。則當n=k+1時，所以當n=k+1時，結(jié)論成立；由①②可知：，使得命題成立。16分考點：1．數(shù)學歸納法；2．歸納推理2．（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，求其通項，進而求出；（2）利用錯位相減法求，進而求出，作差證明數(shù)列為遞減數(shù)列，可求得最值，即得的范圍；（3）求出，利用裂項抵消法求和，進而證明不等式成立．試題解析：（1）由已知得，其中所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項，所以4分答案第11頁，總11頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答

6、案僅供參考。由（1）知所以所以7分因此，所以，當即，即所以是最大項所以．．9分（3）12分又令，顯然在時單調(diào)遞減，所以故而13分答案第11頁，總11頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考?？键c：1．數(shù)列的遞推公式；2．錯位相減法；3．裂項抵消法．3．（Ⅰ）1；（Ⅱ）2014．【解析】試題分析：（Ⅰ）∵∴，∴．（Ⅱ）（?。?，①∴，．②由①②得．∴，即當時．（ⅱ）由，∵，，，．．．．,，∴．則，∴．考點：1．數(shù)列的遞推公式，2．累加法求數(shù)列的前項和．4．（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）首先

7、根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知答案第11頁，總11頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。，從而得證；（2）由和得，，從而可得，即可得證.試題解析：（1）由題意得，，即，，由得，由得，，即；（2）由題意得，∴①，由和得，，∴，因此②，由①②得.考點：數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.5．（1）（2）詳見解析（3）【解析】解：（1）由，得，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，故的通項公式為，.證明：（2）由，得.所以為常數(shù)列，，即.答案第11頁，總11頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。因為

8、，，所以，即.故的第項是最大項.解：（3）因為，所以，當時，.當時，，符合上式.所以.因為，所以，.①當時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，不存在最大、最小值；②當時，的最大值為，最小值為，而；③當時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值，最小值，由及，得.綜上，的取值范圍是.考點：等差數(shù)列，數(shù)列單調(diào)性6．（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．【解析】試題分析：（Ⅰ）由，可得當時，，兩式相