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《西南交大數(shù)值分析題庫(kù)積分微分方程》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分,要把區(qū)間[0,1]一般要等分41份才能保證滿足誤差小于0.00005的要求（這里）；如果知道，則用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分此實(shí)際值大(大，小)。在以為內(nèi)積的空間C[0,1]中，與非零常數(shù)正交的最高項(xiàng)系數(shù)為1的一次多項(xiàng)式是3.(15分)導(dǎo)出用Euler法求解的公式,并證明它收斂于初值問(wèn)題的精確解解Euler公式-----------(5分)-------------------(10分)若用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分區(qū)間應(yīng)分2129等分，即要計(jì)算個(gè)2130點(diǎn)的函數(shù)值才能使截?cái)嗾`差不超過(guò)；若改用復(fù)化Si
2、mpson公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分12等分，即要計(jì)算個(gè)25點(diǎn)的函數(shù)值1．用Romberg法計(jì)算積分解9.219524346410430E-0035.574989241319070E-0034.360144206288616E-0034.499817148069681E-0034.141426450319885E-0034.126845266588636E-0034.220146327817699E-0034.126922721067038E-0034.125955805783515E-0034.125941687
3、358037E-0032．用復(fù)合Simpson公式計(jì)算積分(n=5)解=4.126352633630653E-0033、對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度.4、插值型求積公式的求積系數(shù)之和=b-a5、?證明定積分近似計(jì)算的拋物線公式具有三次代數(shù)精度證明如果具有4階導(dǎo)數(shù),則=(h?[a,b])因此對(duì)不超過(guò)3次的多項(xiàng)式f(x)有即精確成立,對(duì)任一4次的多項(xiàng)式f(x)有因此定積分近似計(jì)算的拋物線公式具有三次代數(shù)精度或直接用定義證.6、試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問(wèn)所得的數(shù)
4、值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型？解由得由得由得由得由得可得代數(shù)精度是5,是Gauss型積分公式7．1）設(shè)是[0,1]區(qū)間上帶權(quán)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式系，求2）構(gòu)造如下的Gauss型求積公式解(1),(2)的兩零點(diǎn)為(即Gauss點(diǎn))Gauss型求積公式8用復(fù)合Simpson公式計(jì)算：要使誤差小于0.005，求積區(qū)間[0,π]應(yīng)分多少個(gè)子區(qū)間？并用復(fù)合Simpson公式求此積分值。解復(fù)合Simpson公式計(jì)算的誤差為，h?[a，b]因此只要即可.得,取9試述何謂Gauss型求積公式。如下求積公式
5、：是否是Gauss型求積公式？Gauss型求積公式是否穩(wěn)定？是否收斂？(假定f(x)在積分區(qū)間上連續(xù))解把用[a，b]上的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)（互不相同的）(k=0,1,…,n)而使數(shù)值求積公式的代數(shù)精確度達(dá)到2n+1，稱為Gauss型求積公式求積公式因此式的代數(shù)精確度為3，所以不是Gauss型求積公式。Gauss型求積公式是穩(wěn)定的，也是收斂的。10．試述何謂Gauss型求積公式。并證明：⑴Gauss型求積公式的系數(shù)(這里是權(quán)函數(shù))⑵其中C是常數(shù)(要求寫出C的表達(dá)式)。解把用[a，b]上的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)（互不相同的）(k=0,
6、1,…,n)而使數(shù)值求積公式的代數(shù)精確度達(dá)到2n+1，稱為Gauss型求積公式(1)是Gauss型求積公式，因此如果是不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式兩邊應(yīng)該完全相等，取則(2)是Gauss型求積公式，因此代數(shù)精確度達(dá)到2n+1,因此如果是不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式兩邊應(yīng)該完全相等，取得11．證明：（1）Newton-Cotes系數(shù)滿足如下等式：(2）設(shè)，分別表示把區(qū)間[a,b]n,2n等分后復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，表示把區(qū)間[a,b]n等分后復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分。證明下式成立：證明(1)因?yàn)镹ewton-Cotes求
7、積公式為，其中而Newton-Cotes系數(shù)滿足因，故.(2)因又因整理即可得12、若用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分區(qū)間應(yīng)分2129等分，即要計(jì)算個(gè)2130點(diǎn)的函數(shù)值才能使截?cái)嗾`差不超過(guò)；若改用復(fù)化Simpson公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間應(yīng)分12等分，即要計(jì)算個(gè)25點(diǎn)的函數(shù)值。13．證明(=0,1,…,n)是插值型求積公式的高斯點(diǎn)的充分必要條件是:多項(xiàng)式與任意次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式關(guān)于權(quán)函數(shù)正交且高斯系數(shù).其中為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù)。證明:必要性，設(shè)節(jié)點(diǎn)使求積公式成為Gauss型求積公式，則它的代數(shù)精度應(yīng)具有2n+1
8、，故對(duì)任意次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式P(x)有：是次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式，從而，即必要性成立。充分性：因?yàn)閚+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式代數(shù)精度至少有n，如果取f(x)是任一次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式，則f(x)=，其中P(x)是次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式，r(x)是次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式，因與任一次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式正交，從而，即。由于r(x)次數(shù)
