數(shù)值積分與微分方程

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1、2.3數(shù)值積分2.3.1一元函數(shù)的數(shù)值積分函數(shù)1quad、quadl、quad8功能數(shù)值定積分，自適應(yīng)Simpleson積分法。格式q=quad(fun,a,b)%近似地從a到b計(jì)算函數(shù)fun的數(shù)值積分，誤差為10-6。若給fun輸入向量x，應(yīng)返回向量y，即fun是一單值函數(shù)。q=quad(fun,a,b,tol)%用指定的絕對(duì)誤差tol代替缺省誤差。tol越大，函數(shù)計(jì)算的次數(shù)越少，速度越快，但結(jié)果精度變小。q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)%將可選參數(shù)p1,p2

2、,…等傳遞給函數(shù)fun(x,p1,p2,…)，再作數(shù)值積分。若tol=[]或trace=[]，則用缺省值進(jìn)行計(jì)算。[q,n]=quad(fun,a,b,…)%同時(shí)返回函數(shù)計(jì)算的次數(shù)n…=quadl(fun,a,b,…)%用高精度進(jìn)行計(jì)算，效率可能比quad更好?！?quad8(fun,a,b,…)%該命令是將廢棄的命令，用quadl代替。例2-40>>fun=inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’);equivalentto:functiony=funn(x)y=3*x

3、.^2./(x.^3-2*x.^2+3);>>Q1=quad(fun,0,2)>>Q2=quadl(fun,0,2)計(jì)算結(jié)果為：Q1=3.7224Q2=3.7224補(bǔ)充：復(fù)化simpson積分法程序程序名稱Simpson.m調(diào)用格式I=Simpson('f_name',a,b,n)程序功能用復(fù)化Simpson公式求定積分值輸入變量f_name為用戶自己編寫給定函數(shù)的M函數(shù)而命名的程序文件名a為積分下限b為積分上限n為積分區(qū)間劃分成小區(qū)間的等份數(shù)輸出變量I為定積分值程序functionI=simp

4、son(f_name,a,b,n)h=(b-a)/n;x=a+(0:n)*h;f=feval(f_name,x);N=length(f)-1;ifN==1fprintf('Datahasonlyoneinterval')return;endifN==2I=h/3*(f(1)+4*f(2)+f(3));return;endifN==3I=3/8*h*(f(1)+3*f(2)+3*f(3)+f(4));return;endI=0;if2*floor(N/2)==NI=h/3*(2*f(N-2)+2*

5、f(N-1)+4*f(N)+f(N+1));m=N-3;elsem=N;endI=I+(h/3)*(f(1)+4*sum(f(2:2:m))+2*f(m+1));ifm>2I=I+(h/3)*2*sum(f(3:2:m));end例題求。解先編制的M函數(shù)。程序文件命名為sin_x.m。functiony=sin_x(x)y=sin(x)將區(qū)間4等份，調(diào)用格式為I=Simpson(’sin_x’,0,pi,4)計(jì)算結(jié)果為y=00.70711.00000.70710.0000I=2.0046將區(qū)間2

6、0等份，調(diào)用格式為I=Simpson(’sin_x’,0,pi,20)計(jì)算結(jié)果為y=00.15640.30900.45400.58780.70710.80900.89100.95110.98771.00000.98770.95110.89100.80900.70710.58780.45400.30900.15640.0000I=2.0000重做上例2—40：simpson('funn',0,2,100)函數(shù)2trapz功能梯形法數(shù)值積分格式T=trapz(Y)%用等距梯形法近似計(jì)算Y的積分。若Y

7、是一向量，則trapz(Y)為Y的積分；若Y是一矩陣，則trapz(Y)為Y的每一列的積分；若Y是一多維陣列，則trapz(Y)沿著Y的第一個(gè)非單元集的方向進(jìn)行計(jì)算。T=trapz(X,Y)%用梯形法計(jì)算Y在X點(diǎn)上的積分。若X為一列向量，Y為矩陣，且size(Y,1)=length(X)，則trapz(X,Y)通過Y的第一個(gè)非單元集方向進(jìn)行計(jì)算。T=trapz(…,dim)%沿著dim指定的方向?qū)進(jìn)行積分。若參量中包含X，則應(yīng)有l(wèi)ength(X)=size(Y,dim)。例2-41>>X=-1

8、:.1:1;>>Y=1./(1+25*X.^2);>>T=trapz(X,Y)計(jì)算結(jié)果為：T=0.5492補(bǔ)充：復(fù)化梯形積分法程序程序名稱Trapezd.m調(diào)用格式I=Trapezd('f_name',a,b,n)程序功能用復(fù)化梯形公式求定積分值輸入變量f_name為用戶自己編寫給定函數(shù)的M函數(shù)而命名的程序文件名a為積分下限b為積分上限n為積分區(qū)間劃分成小區(qū)間的等份數(shù)輸出變量I為定積分值程序functionI=Trapezd(f_name,a,b,n)h=(b-a)/n;x=a+(0:n)*h;