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1、9.6平面上曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件第九章一、平面曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件二、原函數(shù)計(jì)算舉例三、小結(jié)與思考練習(xí)9/17/20211在前面計(jì)算第二型曲線積分的開(kāi)始兩個(gè)例子中,讀者可能已經(jīng)看到,在一個(gè)例子中,以A為起點(diǎn)B為終點(diǎn)的曲線積分,若所沿的路線不同,則其積分值也不同,但在另一個(gè)例子中的曲線積分值只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),與路線的選取無(wú)關(guān).本節(jié)將討論曲線積分在什么條件下,它的值與所沿路線的選取無(wú)關(guān).9/17/20212Gyxo一、平面曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件BA如果在區(qū)域G內(nèi)有1.曲線積分與路線無(wú)關(guān)的定義9/17/20213(ii)對(duì)D中任一按段光滑曲線L,曲線積分與路線無(wú)關(guān),
2、只與L的起點(diǎn)及終點(diǎn)有關(guān);(iii)是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分,即在D內(nèi)有(iv)在D內(nèi)處處成立定理1設(shè)D是單連通區(qū)域.若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù),且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)條件兩兩等價(jià):(i)沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L,有9/17/20214若滿足定理1的條件,則由上述證明可看到二元函數(shù)具有性質(zhì)我們也稱為的一個(gè)原函數(shù).二、原函數(shù)計(jì)算舉例9/17/202159/17/202169/17/202179/17/202189/17/202199/17/202110例3計(jì)算曲線積分解由于9/17/2021119/17/202112解9/17/202113與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命
3、題內(nèi)容小結(jié)9/17/202114作業(yè)習(xí)題9-6P2212(2);3(2);9/17/202115思考與練習(xí)解:9/17/2021162.試應(yīng)用曲線積分求的原函數(shù).解這里在整個(gè)平面上成立由定理1,曲線積分只與起點(diǎn)A和終點(diǎn)B有關(guān),而與路線的選擇無(wú)關(guān).為此,取取路線為圖21-22中的折線段于是有9/17/202117證(i)(ii)如圖21-19,設(shè)與為聯(lián)結(jié)點(diǎn)A,B的任意兩條按段光滑曲線,由(i)可推得所以9/17/202118D內(nèi)任意一點(diǎn).由(ii),曲線積分與路線的選擇無(wú)關(guān),故當(dāng)在D內(nèi)變動(dòng)時(shí),其積分值是的函數(shù),即有取充分小,使則函數(shù)對(duì)于x的偏增量(圖21-20).(ii)(
4、iii)設(shè)為D內(nèi)某一定點(diǎn),為9/17/202119因?yàn)樵贒內(nèi)曲線積分與路線無(wú)關(guān),所以因直線段BC平行于x軸,故,從而由積分中值定理可得其中根據(jù)在D上連續(xù),于是有9/17/202120同理可證所以證得(iii)(iv)設(shè)存在函數(shù)使得因此于是由一點(diǎn)處都有以及P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),便可知道在D內(nèi)每9/17/202121(iv)(i)設(shè)L為D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線,記L所圍的區(qū)域?yàn)?由于D為單連通區(qū)域,所以區(qū)域含在D內(nèi).應(yīng)用格林公式及在D內(nèi)恒有的條件,就得到上面我們將四個(gè)條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍,這就證明了它們是相互等價(jià)的.9/17/202122例解應(yīng)用定理1中的條件(iv)考察§
5、2中的兩個(gè)例子9/17/202123問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.9/17/202124例解9/17/2021259/17/202126問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.9/17/202127注由定理1可見(jiàn),若原函數(shù)可用公式或則求全微分的9/17/202128
