復矢量法在平面運動中的應用

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1、復矢量法在平面運動中的應用摘要本文主要用復矢量法,證明了牽連運動為平面運動時,點的加速度合成定理,給出了求解平面機構運動不同與教材的方法.關鍵詞復矢量法,牽連運動，平面運動,科氏加速度牽連運動為平面運動時點的加速度合成公式,是求解平面機構復雜運動的一個重要定理.其形式如下：dd!ddddddrddrddda=ar+ε×+×ω+=a+a+aoercdtdtdt對于這個公式，我們的教科書上沒有給出詳細的證明，只是簡單的進行了一些分析。老師在講授課程的時候又進一步用定軸運動的模型給出了科氏加速度的物理意義。而僅引用牽連運動為定軸

2、轉動時點的加速度合成定理證明的結論,這樣似乎不太完整.另外,解析法和幾何法來研究平面中的復雜運動,不僅過程繁雜,而且僅能求解特定位置時的運動瞬時值.我在看一些參考書的時候，遇到了復矢量法這樣一種解決平面運動問題的方法，它既能對牽連運動為平面運動時點的加速度合成定理予以理論上的嚴格證明,同時又可方便地求解平面機構復雜運動的整個過程.證明加速度合成公式：如圖１，設動點M(x,y,z)在動坐標系o′x′y′z′中沿曲線L運動,而動系的動坐標面o′x′y′相對靜坐標系oxyz的靜坐標面xoy作平面運動,且動系原點o′相對于靜系的坐

3、標為(xo′,yo′,a),(a為常數)圖11iθiθ由歐拉公式：cosei=+θsinθ,exp(iθ)=e1cosθ=+[exp()exp(iuθθ?)]2（1）1sinθ=?[exp()exp(iuθθ?)]2θ為o′x′軸與ox軸間的夾角.將(1)式代入坐標變換公式(2)(2)得用復坐標表示的變換公式(3)其中u=i,下文中的u均為i。同樣,對基本單位矢量用復坐標表示(4)由加速度定義,對復坐標變換式(3)中的各式分別連求二階導數,則得動點M的絕對加速度在各對應坐標軸上的投影,即2由絕對加速度定義將上述表達式代入上

4、式并利用(4)式的結果整理得M點的絕對加速度(5)設M′點為動坐標系上與動點M相重合的點,由M點牽連加速度定義得3(6)由M點的相對加速度定義(7)又由科氏加速度定義(8)將(6)～(8)式代入(5)式,則得d!dddddddrddrddda=ar+ε×+×ω+=a+a+a(9)oercdtdtdt至此定理證畢.應用：例具有控制搖桿O1B的曲柄滑塊機構,曲柄OA按規(guī)律θ1=θ1(t)繞定軸O轉動.已知:OA=a、O1B=b、OO1=C、ωO1B=、εO1B=.求:1)BC桿的角速度ωBC與角加速度εBC及滑塊A相對于BC桿

5、的速度vr與加速度ar;2)當OA桿轉置鉛垂位置時,控制搖桿O1B與水平線OO1夾角為,求此瞬時BC桿的ωBC、εBC及滑塊A相對BC桿的vr、ar.(設a=cm,b=4cm,c=5cm,2對應此瞬時=4rad/s,=4rad/s2,=2rad/s,=2rad/s.)解（１）取圖示坐標,由圖2可知封閉矢量約束方程［3］為4AB=AO+OO1+O1B圖2曲柄滑塊機構即(11)(11)式兩邊同對時間t求導得（12）上式兩邊同乘exp(-uθ3),再次歐拉公式展開并比較兩邊的實部與虛部系數得(13)(14)與求速度方法類似,式(

6、12)兩邊對時間t求導后兩邊同乘exp(-uθ),再用歐拉公式展開并比較實、虛部系數得(15)(16)5（２）當OA桿轉置鉛垂位置瞬時,有,將其及已知條件分別代入式(13)～式(16)得負號表示vr方向與r3(AB)的方向相反.負號表示為順轉向.ar與AB同向.與θ３一致逆轉向.復矢量法在力學中甚至許多其他科學中都有重要的應用，我認為它其實是把物理問題換用數學手段來解決的一種方法。因此能減少力學分析，但數學計算也相應的較多。我們在實際分析問題時可以根據實際情況采用不同的方法解決問題。參考文獻1.李俊峰，張雄，任革學，高云峰

7、編?！独碚摿W》2琚貽宏.《復矢量法在平面機構運動學中的應用》０００６７１劉川6