復(fù)變函數(shù)法在平面彈性問(wèn)題中的應(yīng)用與發(fā)展

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1、復(fù)變函數(shù)法在平面彈性問(wèn)題中的應(yīng)用與發(fā)展★王省哲怡曉玲(蘭州大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，甘肅，蘭州，730000)摘要彈性問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)法是在19世紀(jì)初建立起來(lái)的．在過(guò)去的100年中，復(fù)變函數(shù)法求解力學(xué)問(wèn)題中取得了很大發(fā)展。20世紀(jì)初斷裂力學(xué)的發(fā)展對(duì)復(fù)變函數(shù)法提出了新的挑戰(zhàn)，而保角映射使得復(fù)變函數(shù)法在解決裂紋問(wèn)題時(shí)的作用發(fā)揮到了極致．近些年來(lái)，依然有很多的力學(xué)工作者在不斷發(fā)展和應(yīng)用復(fù)變函數(shù)法解決更多的新的力學(xué)問(wèn)題．關(guān)鍵詞復(fù)變函數(shù)法，平面彈性力學(xué)問(wèn)題，發(fā)展與應(yīng)用l引言復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于18世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中給出了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。

2、而稍早時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在關(guān)于流體力學(xué)的論文中也得到了它們。到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究和論述，后來(lái)這兩個(gè)方程被叫做“柯西．黎曼條件”。復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，并統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，被譽(yù)為是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。作為一種極為有效和獨(dú)具特色的方法，復(fù)變函數(shù)法可以適用于曲線坐標(biāo)系，因而在多連通域、復(fù)雜幾何形狀以及高應(yīng)力梯度等問(wèn)題的求解中得到廣泛應(yīng)用，同時(shí)復(fù)變函數(shù)為彈性平面理論和斷裂力學(xué)等問(wèn)題的求解提供了一種極為重要的途徑。在利用復(fù)變函數(shù)法求解彈性平面

3、問(wèn)題’教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-050878)266時(shí)，無(wú)需預(yù)先估計(jì)位移和應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)的特征，無(wú)需預(yù)先構(gòu)造未知函數(shù)的形式，只需要按部就班，履行解法中所包含的數(shù)學(xué)推演全過(guò)程，問(wèn)題就完美地解決了，而且得到的是嚴(yán)格的解析解。而在宏觀平面斷裂問(wèn)題中，所采用的解析法求解法中大都直接或間接地利用了復(fù)變函數(shù)理論、保角映射法、Muskhelishvili方法等，或是以這幾種方法結(jié)合使用來(lái)求解。本文主要介紹了自GV．Kolosov以來(lái)彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)法的發(fā)展和幾本具有一定影響和階段性成果匯集的經(jīng)典專著，以及近來(lái)復(fù)變函數(shù)解法的新應(yīng)用和發(fā)展等。2關(guān)于復(fù)變函數(shù)法求

4、解彈性平面問(wèn)題的幾本專著彈性力學(xué)崇尚嚴(yán)格意義上的解析解，祈求獲得同時(shí)滿足全部彈性力學(xué)方程和邊界條件的解析解。彈性力學(xué)的先驅(qū)們?yōu)榇私弑M所能，在應(yīng)用數(shù)學(xué)的海洋中，尋求一種完美的正解法。而復(fù)變函數(shù)理論正是提供這樣的一種工具，在早期的許多重要的彈性力學(xué)平面問(wèn)題都是通過(guò)復(fù)變函數(shù)發(fā)法求得的，這是由于線彈性靜力學(xué)理論所得到的控制方程是一個(gè)雙調(diào)和方程(不考慮體力的作用)，而調(diào)和函數(shù)、雙調(diào)和函數(shù)與復(fù)變函數(shù)論的解析函數(shù)之間又有著非常緊密的關(guān)系。2．1Muskhefishvili的經(jīng)典巨著(1933)提到彈性平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)法，大多數(shù)人認(rèn)為它是從20世紀(jì)初期問(wèn)世的Muskh

5、elishvili專著《數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的幾個(gè)基本問(wèn)題》【l】開始的。但實(shí)際上對(duì)于這一問(wèn)題還可以追朔到更早期的一些關(guān)于邊值問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)法求解理論方面的基礎(chǔ)性工作。諸如：一些數(shù)學(xué)家提出的H類或日“(o<口<1)在柯西型積分理論的發(fā)展中起著舉足輕重的作用，一直是核函數(shù)的首選函數(shù)類；柯西型積分邊值及其導(dǎo)數(shù)仍然屬于H類函數(shù)；以及積分的置換公式的提出和將高階奇異性情形下的積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為低階的柯西型積分的計(jì)算等?？挛餍头e分理論上的完善為以后的力學(xué)家應(yīng)用復(fù)變函數(shù)法解決彈性靜力學(xué)問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。在后來(lái)發(fā)展起來(lái)的固267體力學(xué)的分枝——斷裂力學(xué)中，許多問(wèn)題都可歸結(jié)為柯西型奇

6、異積分方程求解。早在1909年，Muskhelishvili的老師，俄國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家哥洛索夫(GVKolosov，1867-1936)就將復(fù)應(yīng)力函數(shù)法應(yīng)用于解決二維彈性靜力學(xué)問(wèn)題，其求解了一外力作用下的帶有橢圓形孔的無(wú)限大薄板的應(yīng)力分布問(wèn)題。1910年，Kolosov在他的論文集中給出了系統(tǒng)的用復(fù)變函數(shù)法解決彈性力學(xué)問(wèn)題的理論，給出了在沒有外力作用下的復(fù)位移和復(fù)應(yīng)力形式uJ：2G(材+如)：尋二坐緲(z)一莉一諺彳歷(1)I+“．吒+q=4Re≯(z)，q～吒+2ir,,y=2【矽’(z)+緲(z)】(2)其中緲0)和y(z)地=x+iy的全純函數(shù)(h

7、olomorphicfunctions)，矽(z)=∥(z)，烈z)=v／(z)。并且他給出了一對(duì)復(fù)解析函數(shù)矽(z)，y(z)并使之與控制方程建立了一定的關(guān)系，獲得了一些簡(jiǎn)單情況下力學(xué)模型的復(fù)應(yīng)力函數(shù)的一般表達(dá)形式，即哥洛索夫一般表示(也有人稱之為復(fù)Airy表示或者M(jìn)uskhelishvili表示)，這為后來(lái)的Muskhelishvili就一般平面問(wèn)題的系統(tǒng)研究和復(fù)變函數(shù)求解理論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。1933年，Muskhelishvili的專著《數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的幾個(gè)基本問(wèn)題》問(wèn)世，此書為彈性力學(xué)平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)法進(jìn)行了較全面的論述，闡述了復(fù)變函數(shù)法求解彈性

8、平面問(wèn)題的基本理論并概括了當(dāng)時(shí)的許多新的研究成果。Muskhelishvili的