《彈性力學(xué)》第五章 平面問題的復(fù)變函數(shù)法.ppt

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1、第五章平面問題的復(fù)變函數(shù)法1平面問題的復(fù)變函數(shù)法第五章平面問題的復(fù)變函數(shù)法直角坐標及極坐標求解平面問題，所涉及的物體邊界是直線或圓弧形。對于其他一些邊界，例如橢圓形、雙曲形、非同心圓等就要用不同的曲線坐標。應(yīng)用復(fù)變函數(shù)可使該類問題得以簡化。本章只限于介紹復(fù)變函數(shù)方法在彈性力學(xué)中的簡單應(yīng)用。2§5-4多連通域內(nèi)應(yīng)力與位移的單值條件§5-3邊界條件的復(fù)變函數(shù)表示§5-2應(yīng)力和位移的復(fù)變函數(shù)表示§5-1應(yīng)力函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示§5-6含孔口的無限大板問題§5-5無限大多連體的情形平面問題的復(fù)變函數(shù)法第五章平面問題的復(fù)變函數(shù)法3§5-1應(yīng)力函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示在第二

2、章中已經(jīng)證明，在平面問題里，如果體力是常量，就一定存在一個應(yīng)力函數(shù)φ，它是位置坐標的重調(diào)和函數(shù)，即現(xiàn)在，引入復(fù)變數(shù)z=x＋iy和z＝x－iy以代替實變數(shù)x和y。注意平面問題的復(fù)變函數(shù)法4可以得到變換式進而平面問題的復(fù)變函數(shù)法5令于是可將方程式變換成為由平面問題的復(fù)變函數(shù)法6可知，P是調(diào)和函數(shù)可由解析函數(shù)的實部得到。設(shè)f(z)為解析函數(shù)，可令由令得則平面問題的復(fù)變函數(shù)法7將上式對積分，得到再對z積分，得到令即則平面問題的復(fù)變函數(shù)法8注意上式左邊的重調(diào)和函數(shù)φ是實函數(shù)，可見該式右邊的四項一定是兩兩共軛，前兩項已經(jīng)是共軛的，后兩項也應(yīng)是共軛的：令即得有名的古薩

3、公式也可以寫成平面問題的復(fù)變函數(shù)法9于是可見，在常量體力的平面問題中，應(yīng)力函數(shù)φ總可以用復(fù)變數(shù)z的兩個解析函?(z)和?(z)來表示，稱為K-M函數(shù)。而求解各個具體的平面問題，可歸結(jié)為適當?shù)剡x擇這兩個解析函數(shù)，并根據(jù)邊界條件決定其中的任意常數(shù)。平面問題的復(fù)變函數(shù)法10§5-2應(yīng)力和位移的復(fù)變函數(shù)表示根據(jù)應(yīng)力分量和應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系一應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表示平面問題的復(fù)變函數(shù)法11可得到應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表示由可得而由平面問題的復(fù)變函數(shù)法12可得或平面問題的復(fù)變函數(shù)法13只要已知?(z)及ψ(z)，就可以把上述公式右邊的虛部和實部分開，由虛部得出τxy，由實部得

4、出σy-σx。和就是應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表示。當然也可以建立公式，把σx、σy、τxy三者分開用?(z)和ψ(z)來表示，但那些公式將比較冗長，用起來很不方便。平面問題的復(fù)變函數(shù)法14二位移分量的復(fù)變函數(shù)表示假定為平面應(yīng)力問題。由幾何方程及物理方程可得平面問題的復(fù)變函數(shù)法15由于并注意到同理可得平面問題的復(fù)變函數(shù)法16將上兩式分別對x及y積分，得其中的f1及f2為任意函數(shù)。將上式代入式平面問題的復(fù)變函數(shù)法17由于平面問題的復(fù)變函數(shù)法18從而得到于是得到剛體位移f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v0＋ωx故有平面問題的復(fù)變函數(shù)法19若不計剛體位移，則有由式

5、得到平面問題的復(fù)變函數(shù)法20這就是位移分量的復(fù)變函數(shù)表示。若已知?(z)及ψ(z)，就可以將該式右邊的實部和虛部分開，從而得出u和v。平面問題的復(fù)變函數(shù)法將結(jié)果回代,并兩邊除以得上述公式是針對平面應(yīng)力情況導(dǎo)出的。對于平面應(yīng)變情況，須將式中的E改換為，改換為。21§5-3邊界條件的復(fù)變函數(shù)表示為了求得邊界上各結(jié)點處的φ值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即：而代入上式，即得：平面問題的復(fù)變函數(shù)法22由圖可見，l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改寫為：由此得：平面問題的復(fù)變函數(shù)法23設(shè)A是邊界上的固定點,B為任意一點，則

6、從A到B邊界上的合力，可用上式從A點到B點對s積分得到：將式平面問題的復(fù)變函數(shù)法24代入，整理得：把應(yīng)力函數(shù)加上一個復(fù)常數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可把應(yīng)力函數(shù)A處的值設(shè)為零，于是對于邊界上的σ有或這就是應(yīng)力邊界條件。平面問題的復(fù)變函數(shù)法25對于位移邊界條件將其代入下式即得平面應(yīng)力情況下位移邊界條件的復(fù)變函數(shù)表示平面問題的復(fù)變函數(shù)法對于平面應(yīng)變，須將式中的E改換為，改換為。26§5-4多連通域內(nèi)應(yīng)力與位移的單值條件應(yīng)力確定后，應(yīng)力函數(shù)仍可差一個任意的線性函數(shù)，這時K-M函數(shù)并未完全確定。對于單連通區(qū)域，可以通過選取適當坐標系等辦法，使得K-M函數(shù)完全確定；但

7、對于多連通區(qū)域仍不能完全確定。本節(jié)討論K-M函數(shù)在多連通區(qū)域內(nèi)滿足單值的條件。設(shè)有多連通區(qū)域，有一內(nèi)邊界C，設(shè)在邊界C上的外力矢量已給定。通常的多值函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，我們設(shè)平面問題的復(fù)變函數(shù)法27DC這里zk為內(nèi)部邊界內(nèi)的任意一點，?f和ψf為單值的解析函數(shù)（全純函數(shù)），而Ak，Bk為常數(shù)：平面問題的復(fù)變函數(shù)法28前面的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單值的，但他們本身是多值的，當z繞周邊一周時，函數(shù)值ln(zk)產(chǎn)生一個增量2πi,于是?(z)和ψ(z)的增量分別是2πiAk和2πiBk,這時應(yīng)力主矢量按照公式左邊將得到應(yīng)力主矢量(沿整個邊界），右邊得到一增量：平面問題的復(fù)

8、變函數(shù)法29這時位移按照公式也將得到增量，根據(jù)單值性這個增量應(yīng)為零：結(jié)合可得到平