《非線性擬合》PPT課件

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1、在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系式有時(shí)不能直接寫出表達(dá)式,而只能得到函數(shù)在若干個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值.當(dāng)要求知道觀測(cè)點(diǎn)之外的函數(shù)值時(shí),需要估計(jì)函數(shù)在該點(diǎn)的數(shù)值.這就要根據(jù)觀測(cè)點(diǎn)的值,構(gòu)造一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)y=φ(x),使函數(shù)在觀測(cè)點(diǎn)的值等于已知的數(shù)值或?qū)?shù)值,尋找這樣的函數(shù)φ(x),辦法是很多的.根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的類型有如下兩種處理觀測(cè)數(shù)據(jù)的方法:①測(cè)量值是準(zhǔn)確的,沒(méi)有誤差,一般用插值.②測(cè)量值與真實(shí)值有誤差,一般用曲線擬合.第六講曲線擬合一.曲線擬合已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集求得一解析函數(shù)

2、y=f(x),使f(x)在原離散點(diǎn)xi上盡可能接近給定yi的值,這一過(guò)程叫曲線擬合.最常用的曲線擬合是最小二乘法曲線擬合,擬合結(jié)果可使誤差的平方和最小,即找出使下式最小的f(x):通常,在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)先將已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖畫出,然后設(shè)計(jì)擬合的曲線類型,最后根據(jù)某種準(zhǔn)則選定最佳的曲線.1.多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式擬合就是選擇適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行擬合,其命令為:格式:p=polyfit(X,Y,n).說(shuō)明:求出已知數(shù)據(jù)(X,Y)的n階擬合多項(xiàng)式f(x)按降冪排列的系數(shù)p,X必須是單調(diào)的.例1.對(duì)以下數(shù)據(jù)作出

3、散點(diǎn)圖,然后用多項(xiàng)式擬合:(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6)解:x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];plot(x,y)發(fā)現(xiàn):這些點(diǎn)大致地位于某條直線附近,故可考慮線性擬合:p=polyfit(x,y,1)ans:p=2.7937-0.1540即擬合函數(shù)為:y=2.7937x-0.154(圖6.1)上述函數(shù)的擬合效果如何?我們可以通過(guò)計(jì)算誤差

4、平方和的大小進(jìn)行考察(兩種方法):(1)sum((2.7937*x-0.154-y).^2)=0.9136如果用二次函數(shù)進(jìn)行擬合,則有:p=polyfit(x,y,2)p=0.56140.82871.1560即擬合函數(shù)為:此時(shí)誤差平方和為:sum((polyval(p,x)-y).^2)=0.1781根據(jù)誤差平方和最小原則:二次函數(shù)優(yōu)于線性函數(shù)(2)sum((polyval(p,x)-y).^2))=0.9136是否有誤差等于零的多項(xiàng)式?有,那就是該數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式(五次多項(xiàng)式)通常,給出兩點(diǎn)的坐

5、標(biāo),我們可以得到一條直線;若給出三點(diǎn)的坐標(biāo),我們可以得到一條拋物線;…,給出n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),我們可以得到一個(gè)n-1階的多項(xiàng)式.是否多項(xiàng)式的階數(shù)越高越好呢?非也!在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),只要達(dá)到所需的精度,應(yīng)盡量選擇簡(jiǎn)單的函數(shù).p=-1.600013.7400-44.073365.6650-42.631711.3500此時(shí)多項(xiàng)式在x處的函數(shù)值為:polyval(p,x)ans=1.75002.45003.81004.80007.00008.6000例2.某種合金中的主要成分為A,B兩種金屬,經(jīng)過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn):這兩

6、種金屬成分之和x與合金的膨脹系數(shù)y有如下關(guān)系,建立描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式.x3737.53838.53939.54040.54141.54242.543y3.4332.272.11.831.531.71.81.92.352.542.9解:首先作出散點(diǎn)圖:x=37:0.5:43;y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9];plot(x,y,’*’)發(fā)現(xiàn):有點(diǎn)像拋物線,故選二次函數(shù)擬合.p=polyfit(x,y,2)p=0.166

7、0-13.3866271.6231即為所求擬合曲線誤差平方和:R=sum((polyval(p,x)-y).^2)=0.2523(圖6.2)設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),尋找函數(shù)使得函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值與觀測(cè)數(shù)據(jù)偏差的平方和達(dá)到最小.即求滿足如下條件的函數(shù)使得最小解決此類問(wèn)題有以下幾個(gè)步驟:(1)首先作出散點(diǎn)圖,確定函數(shù)的類別;(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定待定參數(shù)的初始值,利用Matlab軟件計(jì)算最佳參數(shù);(3)根據(jù)可決系數(shù),比較擬合效果。2.非線性擬合其中R2越趨近于1表明擬合效果越好.如果是多項(xiàng)式函數(shù),則稱為多項(xiàng)式回歸

8、,此時(shí)的參數(shù)即多項(xiàng)式的系數(shù);如果為指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或三角函數(shù)等,則稱為非線性擬合.下面的圖形給出了常見(jiàn)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系:在Matlab中實(shí)現(xiàn)可決系數(shù)的命令:R2=1-sum((y-y1).^2)/sum((y-mean(y)).^2)可決系數(shù)的計(jì)算公式為冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)雙曲線函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)S形曲線具有S形曲線的常見(jiàn)方程有:羅杰斯蒂(logistic)模型:龔帕茲(Gomperty)模型:理查德(Richards)模型:威布爾(Weibull)模型:為

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