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《向量組的極大無關(guān)組》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第3.4節(jié)向量組的極大 線性無關(guān)組線性代數(shù)主要內(nèi)容:一．等價向量組二．向量組的極大線性無關(guān)組三．向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系一、等價向量組定義1：如果向量組中的每一個向量都可以由向量組線性表示，那么就稱向量組A可以由向量組B線性表示。若同時向量組B也可以由向量組A線性表示，就稱向量組A與向量組B等價。即自反性：一個向量組與其自身等價；對稱性：若向量組與等價，則和等價；傳遞性：與等價,與等價，則與等價。等價向量組的基本性質(zhì)定理：設(shè)與是兩個向量組，如果(2)則向量組必線性相關(guān)。推論1：如果向量組可以由向量組線性表示，并且線性無關(guān)，那么推
2、論2：兩個線性無關(guān)的等價的向量組，必包含相同個數(shù)的向量。(1)向量組線性表示；可以由向量組二、向量組的極大線性無關(guān)組定義2:注:（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.簡稱極大無關(guān)組。對向量組A，如果在A中有r個向量滿足：（2）任意r＋1個向量都線性相關(guān)。（如果有的話）線性無關(guān)。（1）那么稱部分組為向量組的一個極大線性無關(guān)組。（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。（3）一個向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組線性表示例如：在向量組中，首先線性無關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無關(guān)組。還可以驗證也是一個極大無關(guān)組。
3、注：一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。極大無關(guān)組的一個基本性質(zhì)：任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。又，向量組的極大無關(guān)組不唯一，而每一個極大無關(guān)組都與向量組等價，所以：向量組的任意兩個極大無關(guān)組都是等價的。由等價的線性無關(guān)的向量組必包含相同個數(shù)的向量，可得一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價，且所含向量的個數(shù)相同。定理：三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系定義3：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩,記作例如：向量組的秩為2。1.向量組的秩（4）等價的向量組必有相同的秩。關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：（1）零向量組的秩為
4、0。（2）向量組線性無關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：兩個有相同的秩的向量組不一定等價。兩個向量組有相同的秩，并且其中一個可以被另一個線性表示，則這兩個向量組等價。2.矩陣的秩2.1.行秩、列秩、矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成。定義4：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩;矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。例如：矩陣的行向量組是可以證明，是A的行向量組的一個極大無關(guān)組，因為，由即可知即線性無關(guān)；而為零向量，
5、包含零向量的向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3。矩陣A的列向量組是可以驗證線性無關(guān)，而所以向量組的一個極大無關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是3。問題：矩陣的行秩＝矩陣的列秩引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。（列）（列）證：把按行分塊，設(shè)（1）對換矩陣A的兩行A的行向量組所含向量未變，所以向量組的秩不變，所以矩陣A的行秩不變。（2）用非零常數(shù)k乘以A的第i行顯然，向量組可以由向量組線性表示；而向量組也可以由向量組線性表示。所以矩陣的行向量組與的行向量組等價，又等價的向量組有相同的
6、秩，的行秩＝的行秩，即A的行秩不變。（3）非零常數(shù)k乘以第i行后加到第j行上顯然，中的行向量組可以由的行向量組線性表示而的行向量組可以由中的行向量組線性表示。所以兩個向量組等價，所以行向量組的秩不變，所以矩陣的行秩不變。引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。（列）（行）證：設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換變?yōu)锽，即存在有限個初等矩陣使得令則把按列分塊，設(shè)不妨設(shè)A的列向量組的極大無關(guān)組為（可交換列的次序把它們換到前r列，矩陣的秩不變）則下面證明A的列向量組的極大無關(guān)組經(jīng)過初等行變換變?yōu)槭蔷仃嘊的列向量組的極大無關(guān)組。（1）先證線性無關(guān)。
7、設(shè)數(shù)使得成立因為P為初等矩陣的乘積，所以P可逆。又線性無關(guān)線性無關(guān)。（2）再證B的列向量組中任一向量可由向量組線性表示。是A的列向量組的極大無關(guān)組所以對于A中任一列向量都存在數(shù)使得等號兩邊左乘P有由(1)(2)可知是B的列向量組的一個極大無關(guān)組。所以，B的列秩＝r＝A的列秩綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理：矩陣的行秩＝矩陣的列秩證：任何矩陣A都可經(jīng)過初等變換變?yōu)樾问?，而它的行秩為r，列秩也為r。又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定義5：矩陣的行秩＝矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。記為r(
8、A),或rankA，或秩A。推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。2.2矩陣秩的求法.行階梯形矩陣：例如：特點：(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零；(2)每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．行
