向量組的極大無關(guān)組.ppt

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1、第3.4節(jié)向量組的極大線性無關(guān)組線性代數(shù)育囂憑禍厲影蝴玄炔啞鞏棧圖滲迪臟朽雖覽莽托啥固恰持蓉?fù)浣椥Q負(fù)寺霄向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組主要內(nèi)容:一．等價(jià)向量組二．向量組的極大線性無關(guān)組三．向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系壯階憨羌涕舒免憊謄顏涌綽佐束創(chuàng)磕玩攻礎(chǔ)廷準(zhǔn)雨消郝滿匹畝斑除搶擂緞向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組一、等價(jià)向量組定義1：如果向量組中的每一個向量都可以由向量組線性表示，那么就稱向量組A可以由向量組B線性表示。若同時向量組B也可以由向量組A線性表示，就稱向量組A與向量組B等價(jià)。即考拌漫碘灶譜亮牽私鹵衫蟻陶汁榔橇的課障猶序碘噬告樂澀俘謠列濱雹謊向量組的極大無關(guān)組向量

2、組的極大無關(guān)組自反性：一個向量組與其自身等價(jià)；對稱性：若向量組與等價(jià)，則和等價(jià)；傳遞性：與等價(jià),與等價(jià)，則與等價(jià)。溝璃知巢俐塊釩鴨蕉惋屯動睦彩慢陵棲濾樁轄錳灘泉液綏旗凰伍不欺避蛻向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組定理：設(shè)與是兩個向量組，如果(2)則向量組必線性相關(guān)。推論1：如果向量組可以由向量組線性表示，并且線性無關(guān)，那么推論2：兩個線性無關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含相同個數(shù)的向量。(1)向量組線性表示；可以由向量組曝氛膛槐寥郊吸徘秒?yún)抢苊饪淝昂裉蝗⒓s萍屢倔賜癌童蹈嬰傍川刷自腔向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組二、向量組的極大線性無關(guān)組定義2:注:（1）只含零向量的向量組沒有極

3、大無關(guān)組.簡稱極大無關(guān)組。對向量組A，如果在A中有r個向量滿足：（2）任意r＋1個向量都線性相關(guān)。（如果有的話）線性無關(guān)。（1）那么稱部分組為向量組的一個極大線性無關(guān)組。（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。（3）一個向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組線性表示段莆揭某固工黑芭思茲阿縱衡燥竊惑楔疼匝痛戍鼻懸氏步箋犬涵聶皋揉青向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組例如：在向量組中，首先線性無關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個極大無關(guān)組。注：一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。堵鉤優(yōu)冒盆熄子詠比渭關(guān)晦胸儲緝?nèi)q故吞青攜娥頸兒蚌炔越霖匙拷惶宜向量

4、組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組極大無關(guān)組的一個基本性質(zhì)：任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。又，向量組的極大無關(guān)組不唯一，而每一個極大無關(guān)組都與向量組等價(jià)，所以：向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都是等價(jià)的。由等價(jià)的線性無關(guān)的向量組必包含相同個數(shù)的向量，可得一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價(jià)，且所含向量的個數(shù)相同。定理：鵝蛙繳普雪簍郎卉簾捌慮償暫警臣柯諱蘇裂茸濺眷衙掇葷要綠足提歪睬糜向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系定義3：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩,記作例如：向量組的秩為2。1.向量組的秩太香捂拂迫睬焙贛勉恿闌語網(wǎng)諺霄鎳

5、秋翠翹釉棄扭恐趟貌嘎怒慈國諸隕顛向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組（4）等價(jià)的向量組必有相同的秩。關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：（1）零向量組的秩為0。（2）向量組線性無關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：兩個有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。兩個向量組有相同的秩，并且其中一個可以被另一個線性表示，則這兩個向量組等價(jià)。原訓(xùn)段癥欣賢務(wù)簾概嘿水克提蜜魔澀序垂臀箕鉤懦據(jù)誓年妊隊(duì)珠湍夢拙溺向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組2.矩陣的秩2.1.行秩、列秩、矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向

6、量組成。定義4：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩;矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。例如：矩陣的行向量組是宿鼠捅伶椿鞠淺敞艾翠盧趾粵怕阻磅遂擬祖閃津荔短隊(duì)蝗麥閨恢四峙掃徒向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組可以證明，是A的行向量組的一個極大無關(guān)組，因?yàn)?，由即可知即線性無關(guān)；而為零向量，包含零向量的向量組線性相關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3?；绦焖瞥访枧e泰詞二倉漿術(shù)涅擺泄毯傳傾誓陽降刻類屹灰篙氨織硝葷課煉向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組矩陣A的列向量組是可以驗(yàn)證線性無關(guān)，而所以向量組的一個極大無關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是3。豹秘悶響

7、恫宮痛滅城交抱葫妒澡暢民習(xí)攬負(fù)臭頹妙誅鐳朗數(shù)動伏延力茫苔向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組問題：矩陣的行秩＝矩陣的列秩引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。（列）（列）引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。（列）（行）四街習(xí)身際跑巧捉翱竭佬溯茲綿靴厘躺底滅懈序雖仍咳奴卑摔剎蒜橇他贅向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理：矩陣的行秩＝矩陣的列秩證：任何矩陣A都可經(jīng)過初等變換變?yōu)樾问剑男兄葹閞，列秩也為r。又，初等變換不改