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《向量組的極大無關(guān)組與向量空間.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、主要內(nèi)容:一．等價(jià)向量組二．向量組的極大線性無關(guān)組三．向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系第3.4節(jié)向量組的極大 線性無關(guān)組一、等價(jià)向量組若同時(shí)向量組B也可以由向量組A線性表示，就稱向量組A與向量組B等價(jià)。即表示，那么就稱向量組A可以由向量組B線性表示。定義1：如果向量組中的每一個(gè)向量都可以由向量組線性等價(jià)向量組的基本性質(zhì):定理：設(shè)與是兩個(gè)向量組，如果:(2)則向量組必線性相關(guān)。推論1：如果向量組可以由向量組線性表示，并且線性無關(guān)，那么推論2：兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含相同個(gè)數(shù)的向量。(1)向量組線性表示；可以由向量組二、向量組的極大線性無關(guān)組定義2:注:（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組(零
2、向量線性相關(guān))。簡稱極大無關(guān)組。對(duì)向量組A，如果在A中有r個(gè)向量滿足：線性無關(guān)。（1）那么稱部分組為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。（2）一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。（3）一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組線性表示。（2）向量組A中每一個(gè)向量均可有線性表示。例如：在向量組中，首先線性無關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個(gè)極大無關(guān)組。注：一個(gè)向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。極大無關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)：任意一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。又，向量組的極大無關(guān)組不唯一，而每一個(gè)極大無關(guān)組都與向量組等價(jià)，所以：向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都是等價(jià)的。由等
3、價(jià)的線性無關(guān)的向量組必包含相同個(gè)數(shù)的向量，可得定理：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)，且所含向量的個(gè)數(shù)相同。三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系定義3：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩,記作例如：向量組的秩為2。1.向量組的秩（4）等價(jià)的向量組必有相同的秩。關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：（1）零向量組的秩為0。（2）向量組線性無關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：兩個(gè)有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。2.矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個(gè)
4、向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成。定義4：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩;矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。例如：矩陣的行向量組是可以證明，是A的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，因?yàn)椋杉纯芍淳€性無關(guān)；而為零向量，包含零向量的向量組線性相關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3。矩陣A的列向量組是可以驗(yàn)證線性無關(guān)，而所以向量組的一個(gè)極大無關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是3。問題：矩陣的行秩＝矩陣的列秩引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。（列）（列）證：把按行分塊，設(shè)（1）對(duì)換矩陣A的兩行A的行向量組所含向量未變，所以向量組的秩不變，所以矩陣A的行秩不變。（
5、2）用非零常數(shù)k乘以A的第i行顯然，向量組可以由向量組線性表示；的行秩＝的行秩，即A的行秩不變。而向量組也可以由向量組線性表示。所以矩陣的行向量組與的行向量組等價(jià)，又等價(jià)的向量組有相同的秩，（3）非零常數(shù)k乘以第i行后加到第j行上所以兩個(gè)向量組等價(jià)，所以行向量組的秩不變，所以矩陣的行秩不變。顯然，中的行向量組可以由的行向量組線性表示.而的行向量組可以由中的行向量組線性表示.引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。（列）（行）證：設(shè)矩陣A經(jīng)過初等行變換變?yōu)锽，即存在有限個(gè)初等矩陣使得令則把按列分塊,設(shè)不妨設(shè)A的列向量組的極大無關(guān)組為（可交換列的次序把它們換到前r列，矩陣的秩不變）.則下面證明A
6、的列向量組的極大無關(guān)組經(jīng)過初等行變換變?yōu)槭蔷仃嘊的列（1）先證線性無關(guān)。設(shè)數(shù)使得成立因?yàn)镻為初等矩陣的乘積，所以P可逆。又線性無關(guān)線性無關(guān)。向量組的極大無關(guān)組。（2）再證B的列向量組中任一向量可由向量組線性表示。是A的列向量組的極大無關(guān)組所以對(duì)于A中任一列向量都存在數(shù)使得等號(hào)兩邊左乘P有由(1)(2)可知是B的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。所以，B的列秩＝r＝A的列秩綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理：矩陣的行秩＝矩陣的列秩證：任何矩陣A都可經(jīng)過初等變換變?yōu)樾问?，而它的行秩為r，列秩也為r。又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定義5：矩陣的行秩＝矩陣的列秩
7、，統(tǒng)稱為矩陣的秩。記為r(A),或rankA，或秩A。推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。結(jié)論：行階梯形矩陣的秩＝非零行的行數(shù)從而，矩陣A的秩＝矩陣A的行向量組的秩＝非零行的行數(shù).求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來矩陣的秩。解：看行秩例2：求上三角矩陣的秩看的線性相關(guān)性：線性無關(guān)，維數(shù)增加后得到的依然線性無關(guān)，而與都線性無關(guān)，所以矩陣的秩＝行向
