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《向量組的極大無關(guān)組》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第3.4節(jié)向量組的極大 線性無關(guān)組線性代數(shù)主要內(nèi)容:一．等價向量組二．向量組的極大線性無關(guān)組三．向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系一、等價向量組定義1：如果向量組中的每一個向量都可以由向量組線性表示，那么就稱向量組A可以由向量組B線性表示。若同時向量組B也可以由向量組A線性表示，就稱向量組A與向量組B等價。即自反性：一個向量組與其自身等價；對稱性：若向量組與等價，則和等價；傳遞性：與等價,與等價，則與等價。定理：設(shè)與是兩個向量組，如果(2)則向量組必線性相關(guān)。推論1：如果向量組可以由向量組線性表示，并且線性無關(guān)，那么推論
2、2：兩個線性無關(guān)的等價的向量組，必包含相同個數(shù)的向量。(1)向量組線性表示；可以由向量組二、向量組的極大線性無關(guān)組定義2:注:（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.簡稱極大無關(guān)組。對向量組A，如果在A中有r個向量滿足：（2）任意r＋1個向量都線性相關(guān)。（如果有的話）線性無關(guān)。（1）那么稱部分組為向量組的一個極大線性無關(guān)組。（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。（3）一個向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組線性表示例如：在向量組中，首先線性無關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無關(guān)組。還可以驗證也是
3、一個極大無關(guān)組。注：一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。極大無關(guān)組的一個基本性質(zhì)：任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。又，向量組的極大無關(guān)組不唯一，而每一個極大無關(guān)組都與向量組等價，所以：向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都是等價的。由等價的線性無關(guān)的向量組必包含相同個數(shù)的向量，可得一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價，且所含向量的個數(shù)相同。定理：三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系定義3：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩,記作例如：向量組的秩為2。1.向量組的秩（4）等價的向量組必有相同的秩。關(guān)于
4、向量組的秩的結(jié)論：（1）零向量組的秩為0。（2）向量組線性無關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：兩個有相同的秩的向量組不一定等價。兩個向量組有相同的秩，并且其中一個可以被另一個線性表示，則這兩個向量組等價。2.矩陣的秩2.1.行秩、列秩、矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個向量，則矩陣可被認為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個向量，則矩陣可被認為由這些列向量組成。定義4：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩;矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。例如：矩陣的行向量組是可以證明，是A的行向量組
5、的一個極大無關(guān)組，因為，由即可知即線性無關(guān)；而為零向量，包含零向量的向量組線性相關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3。矩陣A的列向量組是可以驗證線性無關(guān)，而所以向量組的一個極大無關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是3。問題：矩陣的行秩＝矩陣的列秩引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。（列）（列）引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。（列）（行）綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理：矩陣的行秩＝矩陣的列秩證：任何矩陣A都可經(jīng)過初等變換變?yōu)樾问剑男兄葹閞，列秩也為
6、r。又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定義5：矩陣的行秩＝矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。記為r(A),或rankA，或秩A。推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。2.2矩陣秩的求法.行階梯形矩陣：例如：特點：(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零；(2)每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．行最簡形矩陣（行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣）：在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，還要求非零行的第一個非零元為數(shù)1，且這些1所在的列的其他元素全都為零。例如：注
7、：對于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣。例1：對矩陣作行初等變換,使成為行階梯矩陣.解:解：看行秩例2：求上三角矩陣的秩看的線性相關(guān)性：線性無關(guān)，維數(shù)增加后得到的依然線性無關(guān)，而與都線性相關(guān)，所以矩陣的秩＝行向量組的秩＝3＝非零行的行數(shù)結(jié)論：行階梯形矩陣的秩＝非零行的行數(shù)證明：只要證明在行階梯形矩陣中那些非零的行是線性無關(guān)就行了。設(shè)A是一階梯形矩陣，不為零的行數(shù)是r。因為初等列變換不改變矩陣的秩，所以適當(dāng)?shù)刈儞Q列的順序，不妨設(shè)其中顯然，左上角的r個r維行向量線性無關(guān)，當(dāng)分量
8、增加為n維時依然無關(guān)，所以矩陣A的非零行的向量是線性無關(guān)的。加上任一零行即相關(guān)，所以矩陣A的秩＝矩陣A的行向量組的秩＝非零行的行數(shù)求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來矩陣的秩。例3:求A的秩。由階梯形矩陣有三個非零行可知定理：矩陣A的初等行變換不改變A的列向量組的線性相關(guān)性和線性組合關(guān)系.此定理說明了:(1)若則向量組A線性相關(guān)向量組
