交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的探討

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1、數(shù)學(xué)傳播35卷3期,pp.22-30交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的探討沈淵源摘要:我們首先釐清何謂無(wú)窮級(jí)數(shù),得以免去諸多的混淆與迷惑。接著透過(guò)數(shù)學(xué)套裝軟體Mathematica1,用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)探討交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)之所以收斂的緣由;再用分析的方法確認(rèn)之。而這個(gè)方法,又很自然地可推廣到一般的情況;從而得知,交錯(cuò)級(jí)數(shù)之所以收斂的充份條件。最後我們藉著歐拉常數(shù)2γ來(lái)說(shuō)明交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)是如何收斂於ln2的前因後果。1.引言:無(wú)窮的遐思?「無(wú)窮和(in?nitesummation)」乃是一矛盾之語(yǔ)詞(oxymoron),其中的「無(wú)窮(in?-nite)」表示沒(méi)有窮盡、不停止、永不止息的意思,而「和(summatio

2、n)」則意味著抵達(dá)某一高潮(summit)的行動(dòng)、達(dá)到一總數(shù)、得到一結(jié)論。我們?nèi)绾螌?duì)一永不止息的過(guò)程作一個(gè)結(jié)論呢?這有如Zeno3所提出的一些似是而非的理論。因此之故,我們就以無(wú)窮級(jí)數(shù)(in?niteseries)來(lái)代替無(wú)窮和之混淆,但仍須對(duì)此術(shù)語(yǔ)作一嚴(yán)格的定義。怎麼說(shuō)呢?由於我們?nèi)说挠邢?當(dāng)我們談到無(wú)限的時(shí)候,就必須特別的謹(jǐn)慎小心。有時(shí)候,直覺(jué)可能引導(dǎo)我們到一個(gè)錯(cuò)誤的方向去,譬1n1如眾所周知的歐拉數(shù)e=lim(1+);直覺(jué)告訴我們,當(dāng)n很大的時(shí)候{1+}會(huì)趨近於n→∞nn1n1,而1的任何次方是1,所以{(1+)}應(yīng)該會(huì)趨近於1才是。同樣的危險(xiǎn)有可能會(huì)出現(xiàn)在n1數(shù)學(xué)套裝軟體Math

3、ematica的簡(jiǎn)介請(qǐng)參考數(shù)論輕鬆遊[6]第一節(jié)。112歐拉常數(shù)γ=lim(1++···+?lnn)。n→∞2n3芝諾ZenoofElea(～490BC–425BC)是希臘的哲學(xué)家。提出一些似是而非的理論來(lái)說(shuō)明假設(shè)任何東西都可分成無(wú)窮多等份所造成的困境。其中最有名的一個(gè)稱為Achilles與烏龜。Zeno說(shuō):雖然Achilles是史詩(shī)《Iliad》中的英雄人物,但若要他與一頭烏龜賽跑,只要烏龜先跑一段路,他就永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?因?yàn)楫?dāng)他跑到原先烏龜所在的位置,烏龜已經(jīng)又跑到他的前方。22交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的探討23無(wú)窮和上面,且看交錯(cuò)級(jí)數(shù)如下:X∞n123456n+1(?1)=?+?+?+?

4、···。n+1234567n=1若以不同的組合來(lái)看此一無(wú)窮和,就會(huì)得到完全不同,甚至是矛盾的結(jié)果,如下所示:X∞n123456n+1(?1)=(?)+(?)+(?)+···<0,n+1234567n=1X∞n1234567n+1(?1)=+(?+)+(?+)+(?+)+···>0。n+12345678n=1在第一種組合當(dāng)中,每個(gè)括弧內(nèi)的數(shù)皆小於0,所以和必定小於0;在第二種組合,除第一項(xiàng)1之外的每個(gè)括弧內(nèi)的數(shù)皆大於0,所以和必定大於0。因此之故我們必須對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)及其2收斂性等作一嚴(yán)格的定義,而萬(wàn)萬(wàn)不能以無(wú)窮和一語(yǔ)大而化之來(lái)敷衍了事!∞定義:給予一實(shí)數(shù)數(shù)列{an}n=1,我們定義n項(xiàng)部份

5、和為XnSn=ak?n∈N。k=1P∞所謂的無(wú)窮級(jí)數(shù),我們指的就是這個(gè)部份和數(shù)列{Sn},以符號(hào)n=1an表示之。若此P∞部份和數(shù)列{Sn}是收斂的,亦即其極限值存在;我們就說(shuō)此無(wú)窮級(jí)數(shù)n=1an是收斂的,否則稱之為發(fā)散的。我們將這個(gè)部份和數(shù)列{Sn}的極限值稱之為無(wú)窮級(jí)數(shù)的和,仍然用同樣的符P∞號(hào)n=1an來(lái)表示。一般而言,計(jì)算一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和需要兩個(gè)步驟;其一為想盡各式各樣的辦法來(lái)找出部份和Sn的公式,然後再根據(jù)這個(gè)公式來(lái)計(jì)算其極限值。第一個(gè)步驟往往很難,除了幾何級(jí)數(shù)(Ge-ometricSeries)、伸縮級(jí)數(shù)(TelescopingSeries)及一些較特殊的級(jí)數(shù)外,差不多大部

6、份的級(jí)數(shù)都被摒除在外。所以我們只好退而求其次,只問(wèn)極限值存在嗎?關(guān)於這個(gè),我們有許許多多判別級(jí)數(shù)收斂性的方法。至於求和的問(wèn)題,只好訴諸所謂的數(shù)值方法來(lái)求其近似值;而這也是Mathematica可以大大發(fā)揮的地方!為了說(shuō)明上述求和步驟之二重奏,我們一起來(lái)看一個(gè)大家所熟悉的級(jí)數(shù)如下:且看交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)111111?+?+?+?···。2345624數(shù)學(xué)傳播35卷3期民100年9月大家都知道這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的,它的和到底是多少呢?在下一節(jié)中,我們先用實(shí)驗(yàn)的方法探討一下,這個(gè)級(jí)數(shù)是如何收斂的;然後再用分析的方法來(lái)確認(rèn)之,並藉著定義歐拉常數(shù)γ的那個(gè)數(shù)列{1+1+···+1?lnn}來(lái)說(shuō)明交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)

7、是如何收斂於ln2的前因後果。2n2.實(shí)驗(yàn):交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)為何收斂?1Pn+1令n∈N且令an=(?1),則其對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)an就是所謂的交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)n111111?+?+?+?···。23456Xn令Sn=ak為其n項(xiàng)部份和。級(jí)數(shù)是否收斂,完全看此部份和數(shù)列{Sn}是否收k=1斂;所以當(dāng)務(wù)之急乃觀察此部份和數(shù)列{Sn}的變動(dòng)趨勢(shì),由此再來(lái)推斷極限值limSn存在n→∞與否。(a)先定義部份和數(shù)列s[n]如下:In[1]:=s[n_]:=Sum[(-