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《離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三章離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)3.1離散傅里葉變換的定義及物理意義3.2DFT的主要性質(zhì)3.3頻域采樣3.5DFT(FFT)應(yīng)用舉例3.4DFT的快速算法——快速傅里葉變換(FFT)本章主要講述：3.1離散傅里葉變換的定義及物理意義模擬域FT、LT數(shù)字域FT、ZT數(shù)字域DFT時間域t:連續(xù)頻率域Ω、s:連續(xù)時間域n:離散頻率域k：離散頻率域ω、z：連續(xù)返回離散傅立葉變換（DFT）實現(xiàn)了信號首次在頻域表示的離散化，使得頻域也能夠用計算機進行處理。并且這種DFT變換可以有多種實用的快速算法。使信號處理在時、頻域的處理和轉(zhuǎn)換均可離散化
2、和快速化。因而具有重要的理論意義和應(yīng)用價值，是本課程學(xué)習(xí)的一大重點。本節(jié)主要介紹返回3.1.1DFT定義3.1.2DFT與ZT、FT、DFS的關(guān)系3.1.3DFT的矩陣表示3.1.1DFT定義設(shè)序列x(n)長度為M，定義x(n)的N點DFT為式中，N稱為離散傅里葉變換區(qū)間長度，要求N≥M。為書寫簡單，令，因此通常將N點DFT表示為定義X(k)的N點離散傅里葉逆變換(IDFT)為長度為N的離散序列返回回到本節(jié)例3.1：，分別計算x(n)的8點、16點DFT。解:x(n)的8點DFT為x(n)的16點DFT為返回回到本節(jié)LT3x1是在頻率區(qū)間上的等間隔采
3、樣返回回到本節(jié)程序運行結(jié)果點數(shù)81632643.1.2DFT與ZT、FT、DFS的關(guān)系DFT有明確的物理意義，我們可以通過比較序列的DFT、FT、ZT，并將DFT與周期序列的DFS聯(lián)系起來，得到DFT的物理意義。DFT和FT、ZT之間的關(guān)系假設(shè)序列的長度為M，N≥M將N點DFT和FT、ZT的定義重寫如下返回回到本節(jié)比較前面三式，得到，k=0,1,2,…,N-1，k=0,1,2,…,N-1結(jié)論：(1)序列的N點DFT是序列傅里葉變換在頻率區(qū)間[0，2?]上的N點等間隔采樣，采樣間隔為2?/N。(2)序列的N點DFT是序列的Z變換在單位圓上的N點等間隔采
4、樣，頻率采樣間隔為2?/N。返回回到本節(jié)DFT與z變換X(ejω)X(k)o1234567(N-1)k=0DFT與DTFT變換序列x(n)的N點DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣；X(k)為x(n)的傅立葉變換在區(qū)間上的N點等間隔采樣。這就是DFT的物理意義。變量周期分辨率返回回到本節(jié)DFT和DFS之間的關(guān)系：周期延拓取主值有限長序列周期序列主值區(qū)序列有限長序列周期序列主值區(qū)間序列返回回到本節(jié)返回回到本節(jié)周期序列DFS:有限長序列的DFT:對比二者發(fā)現(xiàn)：是的主值區(qū)序列，條件N≥M返回回到本節(jié)DFSDFT返回回到本節(jié)DFT與DFS之間的
5、關(guān)系:有限長序列x(n)的DFT變換X(k)，就是x(n)的周期延拓序列的DFS系數(shù) 的主值序列返回回到本節(jié)DFS與FT之間的關(guān)系:周期延拓序列的頻譜特性由其傅里葉級數(shù)的系數(shù)確定，幅度相差一個常數(shù)因子。DFT的是的主值區(qū)序列，所以x(n)的DFT表示的是周期序列的頻譜特性。返回回到本節(jié)3.1.3DFT的矩陣表示周期序列的DFS以及有限長序列x(n)的DFT如下可以發(fā)現(xiàn)它們右邊的函數(shù)形式一樣，但k的定義域不同，X(k)只是的主值區(qū)序列，或者說X(k)以N為周期進行周期延拓即是，用后面兩式表示二者的關(guān)系：返回回到本節(jié)式(3.1.5)～(3.1.8)說
6、明了DFT和DFS之間的關(guān)系。這些關(guān)系式成立的條件是N≥M，即DFT的變換區(qū)間N不能小于x(n)的長度M。如果該條件不滿足，按照式(3.1.5)將x(n)進行延拓時，中將發(fā)生時域混疊，由式(3.1.8)得到的X(k)不再是x(n)的DFT，這時以上講的DFS和DFT之間的關(guān)系不再成立。(3.1.7)(3.1.8)返回回到本節(jié)也可以表示成矩陣形式式中，X是N點DFT頻域序列向量:x是時域序列向量:DN稱為N點DFT矩陣，定義為(3.1.12)返回回到本節(jié)也可以表示為矩陣形式:稱為N點IDFT矩陣，定義為從式(3.1.12)和式(3.1.14)，我們可以
7、發(fā)現(xiàn)(3.1.14)返回回到本節(jié)3.2DFT的主要性質(zhì)與序列的FT類似，DFT也有許多重要的性質(zhì)。其中一些性質(zhì)本質(zhì)上與FT的相應(yīng)性質(zhì)相同，但是某些其他性質(zhì)稍微有些差別。返回線性性質(zhì)DFT的隱含周期性循環(huán)移位性質(zhì)復(fù)共軛序列的DFTDFT的共軛對稱性循環(huán)卷積定理離散巴塞伐爾定理線性性質(zhì)設(shè)有限長序列的長度分別為，，a和b為常數(shù)。則式中，。返回回到本節(jié)DFT的隱含周期性在第一節(jié)中，DFT和IDFT只定義了X(k)和x(n)在變換區(qū)間上的N個值。如果使DFT中k的取值域為[-∞，∞]，就會發(fā)現(xiàn)X(k)是以N為周期的，即X(k+mN)=X(k)稱X(k)的這一特
8、性為DFT的隱含周期性。物理意義：X(k)為在區(qū)間上的N點等間隔采樣。以2π為周期，X(k)以N為周期。返回
