第2章 離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT).ppt

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1、第2章離散傅里葉變換及其快速算法成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院2.1離散傅里葉變換DFT模擬域FT、LT數(shù)字域DTFT、ZT時(shí)間域t:連續(xù)頻率域Ω、s:連續(xù)時(shí)間域n:離散頻率域ω、z：連續(xù)？離散序列如何得到離散的頻域特性電信系信息技術(shù)教研室離散傅立葉變換（DFT）實(shí)現(xiàn)了信號(hào)在頻域特性的離散化，使得頻域也能夠用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。并且這種DFT變換可以有多種實(shí)用的快速算法。使信號(hào)處理在時(shí)、頻域的處理和轉(zhuǎn)換均可離散化和快速化。因而具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值，是本課程學(xué)習(xí)的一大重點(diǎn)。2.1離散傅里葉變換DFT電信系信息技術(shù)教研室2.1.1離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS連續(xù)非周

2、期離散周期信號(hào)特性的時(shí)頻域?qū)?yīng)關(guān)系周期離散電信系信息技術(shù)教研室2.1.1離散傅里葉級(jí)數(shù)DFS？如何對(duì)周期為N的周期序列進(jìn)行頻域分析……如：周期序列不能進(jìn)行Z變換，因?yàn)槠湓趎=-?到+?都周而復(fù)始永不衰減，即z平面上沒(méi)有收斂域，所以其DTFT亦不存在。但是，如同連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可用傅氏級(jí)數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級(jí)數(shù)來(lái)表示。電信系信息技術(shù)教研室周期為N的正弦序列其基頻成分為：K次諧波序列為：但離散級(jí)數(shù)所有諧波成分中只有N個(gè)是獨(dú)立的，這是與連續(xù)傅氏級(jí)數(shù)不同。一、DFS的定義電信系信息技術(shù)教研室將周期序列展成離散傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，只需取k=0到(N-1)這

3、N個(gè)獨(dú)立的諧波分量，所以一個(gè)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)只需包含這N個(gè)復(fù)指數(shù)。1）也是一個(gè)由N個(gè)獨(dú)立諧波分量組成的傅立葉級(jí)數(shù)2）為周期序列，周期為N小結(jié)：電信系信息技術(shù)教研室DFS變換對(duì)公式表明，一個(gè)周期序列雖然是無(wú)窮長(zhǎng)序列，但是只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容（一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無(wú)窮長(zhǎng)序列實(shí)際上只有N個(gè)序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。DFS[·]——離散傅里葉級(jí)數(shù)變換IDFS[·]——離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。電信系信息技術(shù)教研室例：求出下面周期序列的DFS表示式解：上述序列的基本周期為N=4，

4、因而W4=e-j2π/4=-j，電信系信息技術(shù)教研室電信系信息技術(shù)教研室電信系信息技術(shù)教研室假設(shè)都是周期為N的兩個(gè)周期序列，各自的離散傅里葉級(jí)數(shù)為：1）線性設(shè)a,b為任意常數(shù)二、DFS的性質(zhì)電信系信息技術(shù)教研室2）序列移位證：因?yàn)榧岸际且訬為周期的函數(shù)，所以有電信系信息技術(shù)教研室3）共軛對(duì)稱性對(duì)于復(fù)序列，其共軛序列為，則：電信系信息技術(shù)教研室進(jìn)一步可得：共軛奇對(duì)稱分量電信系信息技術(shù)教研室4）周期卷積這是一個(gè)卷積公式，但與前面討論的線性卷積的差別在于，這里的卷積過(guò)程只限于一個(gè)周期內(nèi)（即m=0~N-1），稱為周期卷積。電信系信息技術(shù)教研室電信系信息技術(shù)教研

5、室由于DFS與IDFS的對(duì)稱性，對(duì)周期序列乘積，存在著頻域的周期卷積公式。電信系信息技術(shù)教研室0N-Nm0N-Nm0N-Nm0N-Nm（1）x1(n)和x2(n)是周期的。（2）求和范圍為一個(gè)周期（3）周期序列周期卷積后，序列的長(zhǎng)度仍然是周期的；位置保持不變電信系信息技術(shù)教研室序列的線性卷積與周期卷積的幾點(diǎn)區(qū)別：線性卷積的求和對(duì)參與卷積的兩個(gè)序列無(wú)任何要求，而周期卷積要求兩個(gè)序列是周期相同的周期序列。線性卷積的求和范圍由兩個(gè)序列的長(zhǎng)度和所在的區(qū)間決定，而周期卷積的求和范圍是一個(gè)周期N。線性卷積所得序列的長(zhǎng)度(M+N-1)由參與卷積的兩個(gè)序列的長(zhǎng)度確定，

6、而周期卷積的結(jié)果仍是周期序列，且周期與原來(lái)的兩個(gè)序列周期相同。周期卷積等同于兩個(gè)周期序列在一個(gè)周期上的線性卷積計(jì)算。電信系信息技術(shù)教研室解：例：已知序列x1(n)=R4(n)，x2(n)=(n+1)R5(n)，分別將序列以周期為N=6拓展成周期序列，求兩個(gè)周期序列的周期卷積和。電信系信息技術(shù)教研室154512電信系信息技術(shù)教研室2.1.2離散傅里葉變換DFT設(shè)序列x(n)有效長(zhǎng)度為M，定義x(n)的N點(diǎn)DFT為式中，N稱為離散傅里葉變換區(qū)間長(zhǎng)度，要求N≥M。為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單，令，因此通常將N點(diǎn)DFT表示為定義X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉逆變換(IDFT)為長(zhǎng)度為

7、N的離散序列一、DFT的定義電信系信息技術(shù)教研室二、DFT與ZT、DTFT、DFS的關(guān)系DFT有明確的物理意義，我們可以通過(guò)比較序列的DFT、DTFT、ZT，并將DFT與周期序列的DFS聯(lián)系起來(lái)，得到DFT的物理意義。1.DFT和DTFT、ZT之間的關(guān)系假設(shè)序列的長(zhǎng)度為M，N≥M將N點(diǎn)DFT和DTFT、ZT的定義重寫(xiě)如下電信系信息技術(shù)教研室比較前面三式，得到，k=0,1,2,…,N-1，k=0,1,2,…,N-1電信系信息技術(shù)教研室DFT與z變換X(ejω)X(k)o1234567(N-1)k=0DFT與DTFT變換序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的

8、Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣；X(k)為x(n)的傅立葉變換在區(qū)間上的N點(diǎn)等間隔采樣。結(jié)論