數(shù)值積分計算

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1、電子科技大學(xué)計算方法課程設(shè)計任務(wù)書學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名王吉班級學(xué)號2012101020005課程設(shè)計題目關(guān)于不同方法求解定積分?jǐn)?shù)值解的討論主要任務(wù)：了解并掌握幾種求解定積分?jǐn)?shù)值解的方法，判斷各種數(shù)值方法的代數(shù)精度，同時運(yùn)用各種方法對同一定積分問題仿真實驗，分析各種方法的實驗誤差，尋找精度較高且運(yùn)算簡單的方法。預(yù)期成果：在分析各種數(shù)值方法仿真實驗結(jié)果的基礎(chǔ)上，比較各種算法的優(yōu)越性，得出精度較高、運(yùn)算量較小的算法。要求：1.根據(jù)課程設(shè)計題目明確設(shè)計任務(wù)；2.寫出內(nèi)容充實的設(shè)計報告。報告內(nèi)容包括：問題分析

2、，基本理論，研究方法，計算機(jī)仿真，實驗結(jié)果分析及總結(jié)，參考文獻(xiàn)。作者：王吉，2012級數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，學(xué)號2012101020005不同方法求解定積分的討論電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院王吉摘要：數(shù)值積分問題是計算方法和數(shù)值計算中的重要內(nèi)容，一種既能提高計算速度又能達(dá)到精度要求的算法是現(xiàn)在正致力于尋找的，本文將給出關(guān)于定積分求解問題的精確解的MATLAB實現(xiàn)以及幾種近似求解的思想，通過計算離差平方和來分析這幾種算法的近似程度。關(guān)鍵詞：數(shù)值積分，梯形求積，辛普森公式，龍貝格法，，蒙特卡羅§1引言積分學(xué)的開拓

3、是人類科學(xué)史上的一項重大成就，在科學(xué)技術(shù)中，積分是經(jīng)常遇到的一個重要的計算環(huán)節(jié)。我們在求解定積分方面有了有了Newton-Leibnizb公式可以計算定積分的值，也就是可以表示為?f?x?dx?F?a??F?b?，但是在絕大多a數(shù)情況下F?x?是不存在的，或者說是無法用初等函數(shù)（將基本初等函數(shù)通過有限多次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)），這就導(dǎo)致了我們不能求解精確解，那么關(guān)于近似解算法就是十分有意義的了，即有必要研究定積分的數(shù)值計算方法，以求解定積分的近似計算。數(shù)值積分的計算方法有很多種，如Newton-Cotes方法，

4、Romberg方法，Gauss方法以及MonteCarlo法等，其中Newton-Cotes方法基于利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值積分的常用算法，但是高階的Newton-Cotes算法就明沒有保證，因此在實際中我們很少用高階的Newton-Cotes算法，可以運(yùn)用分段插值的思想用到復(fù)合求積算法，考慮到算法設(shè)計比較復(fù)雜我們運(yùn)用外推原理得到了Romberg方法，同時當(dāng)節(jié)點不長不為常值時，我們尋找最佳節(jié)點（高斯節(jié)點），大大提高插值求積公式精度的高斯方法。另一方面當(dāng)運(yùn)用大數(shù)定理當(dāng)實驗次數(shù)無限多時，用頻率近似替代概率，我們得到了Mont

5、eCarlo法，本文對上述的幾種方法的數(shù)學(xué)及算法做了一個分析與比較。§2數(shù)值積分理論基礎(chǔ)2.1定積分在數(shù)學(xué)分析中的基本概念1、函數(shù)f?x?在?a,b?上有定義，用分點a?x?x???x?x??x?x?b01ii?1n?1n，將?a,b?分為了n個小區(qū)間?xi?1,xi?，記?xi?xi?xi?1，??max??xi?，0?i?n??n任取?i?xi?1,xi，i?1,2,3??n，如果乘積的和式的極限lim?f??i?xi??0i?1作者：王吉，2012級數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，學(xué)號201210102000

6、5存在，而且這個極限值就與xi和?i的取法無關(guān)，則說f?x?在?a,b?上可積，并把它記為bn?f?x?dx?lim?f??i??xia??0i2、如果F?x?是區(qū)間?a,b?上的連續(xù)函數(shù)f?x?的一個原函數(shù)則b?f?x?dx?F?b??F?a?，a該公式稱為Newton-Leibniz公式。2.2數(shù)值分析理論基礎(chǔ)1、基本思想：利用積分區(qū)間上一些離散點的函數(shù)值的線性組合計算定積分的近bn似值。無需尋求原函數(shù)。由定積分的定義?f?x?dx?lim?f??i??xia??0inb知，定積分是和的極限，若用和式近似，則可表示為

7、?f(x)dx???if(xi)，ai?0上式稱數(shù)值求積公式。?－－求積系數(shù)，ix是求積節(jié)點，inQ＝??if(xi)i?0是求積算式，nbR??f(x)dx－??if(xi)ai?0是求積算算式的誤差。2、代數(shù)精度的定義：如果對于不高于m次的代數(shù)多項式P?x?，求積公式的余項R?P?x??在理論上均為0零，并且總存在有m+1次的多項式不具有這樣的性質(zhì)，則稱相應(yīng)的數(shù)值求積公式nb?f(x)dx???if(xi)ai?0的代數(shù)精度為m。2.3Newton-Cotes公式作者：王吉，2012級數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本

8、科生，學(xué)號2012101020005（1）插值型求積公式在區(qū)間?a,b?上給定一組節(jié)點滿足a≤x0