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《第5章狄拉克delta函數(shù)_476401940》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、Chapter5DiracDeltaFunction§5.1DefinitionandPropertiesofDeltaFunction§5.2DeltaFunctionasWeakConvergenceLimitsofOrdinaryFunctions§5.3DeltaFunctioninMultidimensionalSpaces§5.4GeneralizedFourierSeriesExpansionofDeltaFunctionExercises§5.1?函數(shù)的定義與性質(zhì)5.1.1?函數(shù)的定義狄拉克?函數(shù)的定義如下，同時(shí)也說(shuō)明
2、了它的性質(zhì)和作用.???,x?0(i)?()x??(5.1.1a)?0,x?0???()dxx?1(5.1.1b)??式(5.1.1b)有時(shí)也寫(xiě)成另一形式：b?1,0(,)?ab??()dxx??(5.1.1c)a?0,0(,)?ab?(ii)?fx()()d?xx?f(0)(5.1.2)???(iii)?fx()(??x???xx)d?fx()(5.1.3)??在(i)和(ii)中，奇點(diǎn)是在x=0處.(iii)是奇點(diǎn)位于任意的x點(diǎn)上，是最一般的情況.(i)中可以看成是fx()1?的特例.性質(zhì)(iii)也被稱為?函數(shù)的取樣性質(zhì).式(5
3、.1.1a)和(5.1.1b)狄拉克提出的?函數(shù)的最原始的定義.按照原先的經(jīng)典積分理論，?()x既然只在一點(diǎn)x?0處不為零，就相當(dāng)于一個(gè)零函數(shù)的定義，那么它在任意(有限或無(wú)限)區(qū)間上的積分應(yīng)當(dāng)為零，見(jiàn)(2.1.25)式.故式(5.1.1a)和(5.1.1b)是相互沖突的.這是因?yàn)?，通常講的廣義零函數(shù)在孤立點(diǎn)上的取值是有限的，而式(5.1.1a)表示在孤立點(diǎn)上取值是無(wú)限的.因而可以說(shuō)，狄拉克?函數(shù)并不是通常意義下的函數(shù)，無(wú)法用經(jīng)典的方法對(duì)它進(jìn)行代數(shù)分類和分析的運(yùn)算.然而狄拉克?函數(shù)確實(shí)能反映許多為經(jīng)典函數(shù)不能反映的客觀現(xiàn)象.例如只有一個(gè)
4、電源和電容而無(wú)電阻的電路在由斷開(kāi)到接通時(shí)電流就表現(xiàn)出一個(gè)?函1數(shù)的行為.狄拉克?函數(shù)還在以下一些事例中表現(xiàn)其物理意義.在一個(gè)沒(méi)有體積的幾何點(diǎn)上放置有限的質(zhì)量或者電荷量；在傳熱過(guò)程中，在桿的某處(例如一端)的幾何點(diǎn)上傳入有限的熱量；瞬時(shí)沖擊力：在t=0的時(shí)刻一桿受到一沖擊力，在時(shí)間長(zhǎng)度為零的情況下獲得一個(gè)有限的沖量；等等.為了使實(shí)際中出現(xiàn)的奇異性得到合理的解釋，并且能在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)其進(jìn)行正確的運(yùn)算，就必須拓展函數(shù)的概念.這就促成了廣義函數(shù)的產(chǎn)生.5.1.2?函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù)首先，把?函數(shù)看成是函數(shù)空間上的泛函.由上述定義式可以看出，?
5、函數(shù)只有在作用于某個(gè)函數(shù)的時(shí)候才真正體現(xiàn)出它的價(jià)值來(lái).這實(shí)質(zhì)上是一種泛函，第一章中已經(jīng)定義了泛函的概念.現(xiàn)在定義連續(xù)函數(shù)空間?上的一個(gè)泛函?如下.??[()]x??(0)(5.1.4)這個(gè)泛函具有線性性質(zhì)：???[()x???()]x????[()]x????[()]x(5.1.5)1212證明：???[()x???()]x???(0)???(0)????[()]x????[()]x.121212定義1如果某函數(shù)空間?上的泛函?，具有線性性質(zhì)(5.1.5)，則稱?為空間?上的線性泛函，空間?上的線性泛函又稱為空間?上的廣義函數(shù).顯然，
6、線性泛函是泛函的一個(gè)種類.我們來(lái)考慮積分型的廣義函數(shù)f.?(,)f????fx()()dxx(5.1.6)??其中f是一給定的函數(shù)，?()x屬于所考慮的函數(shù)空間?，這里還假定右端的積分存在.寫(xiě)成這個(gè)形式后，此時(shí)的(,)f?就與泛函fx[()]?具有完全相同的含義了.例如，((),())?xx???(0)(5.1.7)這與(5.1.4)式是一樣的.顯然，由(5.1.6)定義的廣義函數(shù)是具有(5.1.5)的線性性質(zhì)的.因此，?f[()](,)?x??f??fx()()d?xx.(5.1.8)??在(5.1.6)的定義中，右邊f(xié)x()是一個(gè)
7、函數(shù)而左邊的f是一個(gè)泛函.不同的函數(shù)fx()給出不同的廣義函數(shù)f.廣義函數(shù)的概念就是在這個(gè)意義下把函數(shù)的概念推廣了.或者說(shuō)，在這個(gè)意義下，作為泛函的fx()也是一個(gè)廣義函數(shù).2齊次，把?函數(shù)看成是一個(gè)廣義函數(shù).?()x函數(shù)作為一個(gè)廣義函數(shù)，它的特點(diǎn)是，本身又可以作為一個(gè)普通函數(shù)來(lái)定義，它的自變量與它的容許函數(shù)?的自變量相同.在一維空間中，如(5.1.1a)式那樣，盡管在原點(diǎn)處是不連續(xù)的，而且其值為無(wú)窮大.5.1.3?函數(shù)的傅里葉變換和拉普拉斯變換除了在奇點(diǎn)x?0以外?()0x?，因此，?()x的行為幾乎處處像一個(gè)普通函數(shù).對(duì)于普通函數(shù)
8、所做的一些運(yùn)算也可以用于?()x函數(shù).例如，我們可以對(duì)?()x函數(shù)作傅里葉變換.根據(jù)傅里葉變換的定義式，我們立即有?i?tF[()]??t???()edtt1(5.1.9)??因此，1的傅里葉反變換就是?()x函數(shù).1?
