狄拉克函數(shù)性質(zhì).pdf

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1、第8章狄拉克函數(shù)δ1.源與場質(zhì)點(diǎn)→→引力場，電荷→電場，熱源溫度場…數(shù)理方程的定解問題反映：hh場u(x,t)與產(chǎn)生這個(gè)場的源f(x',t)之間的關(guān)系。如：電學(xué)中，靜電勢u滿足泊松方程2ρ——靜電勢和源(電荷)的關(guān)系?u=?ε要求ρ激發(fā)的場u，可通過點(diǎn)電荷激發(fā)的場和疊加原理求得。2.點(diǎn)源：質(zhì)點(diǎn)﹑點(diǎn)電荷﹑點(diǎn)熱源﹑點(diǎn)光源等等hh點(diǎn)電荷激發(fā)的場：源點(diǎn)位于處，場點(diǎn)位于處r'rdd1場的數(shù)學(xué)表示：G(r,r′)=dd4πεr?r′3.連續(xù)分布的源所產(chǎn)生的場：無數(shù)個(gè)點(diǎn)源產(chǎn)生的場的疊加。注意：數(shù)理方程通常是線性的。已知源為點(diǎn)源時(shí)方程的解，根據(jù)疊加原理求源頭為連續(xù)分布時(shí)方程的解。8.1一維函數(shù)的定義和

2、性質(zhì)δ一、一維函數(shù)的定義δ通過點(diǎn)電荷電荷密度的計(jì)算，引入函數(shù)的定義。δ設(shè)：均勻帶電細(xì)線，中心位于，長度：x0l，總電量：單位電荷1。?l0(x?x>)(1)0??2線電荷密度η(x)=?1l?(x?x≤)(2)?l02?∞總電量Q=∫η(x)dx=1?∞當(dāng)時(shí)，電荷分布可看作位于的單位點(diǎn)電l→0x=x0荷。此時(shí)?0(x≠x0)η(x)=?(3)∞(x=x)?0∞∫η(x)dx=1(4)?∞把定義在區(qū)間上，滿足上述這兩個(gè)要求的函(,)?∞+∞數(shù)稱為函數(shù)，δ并記作，即δ(x?x)0?0(x≠x)0δ(x?x0)=?(5)∞(x=x)?0∞δ(x?x)dx=1(6)∫0?∞根據(jù)(5)式，在x≠

3、x0時(shí)，δ(x?x0)=0，所以(6)式左邊的積分不需要在(,)?∞+∞的區(qū)間進(jìn)行，而只需要在一個(gè)包含x=x0點(diǎn)在內(nèi)的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，即b?1(ax)?00引入δ函數(shù)后，位于x0處、電量為q的點(diǎn)電荷的線電荷密度為：η(x)=qδ(x?x)0位于坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量線密度為：η(x)=mδ(x?0)=mδ(x)說明：1.δ函數(shù)并不是通常意義下的函數(shù)，而是廣義函數(shù)：它沒有給出函數(shù)與自變量之間的對應(yīng)關(guān)系，僅給出?0(x≠0)δ(x)=??∞(x=0)這在通常情況下沒有意義。2.δ函數(shù)所給出的“函數(shù)值”只是在積分運(yùn)算中才有意義。例：∞

4、∫f(x)δ(x)dx=f(0)?∞二、函數(shù)的性質(zhì)δ性質(zhì)1：若f(x)是定義在區(qū)間(,)?∞+∞的任一連續(xù)函數(shù)，則+∞∫?∞fxxxdxfx()δ（?=00)()——將δ(x?x)乘上f(x)進(jìn)行積分，其值為將f(x)的宗量換為x00或者說：δ函數(shù)具有挑選性(把f(x)在x=x0的值挑選出來)證明：設(shè)ε是任意小的正數(shù)，則由于δ(x?x0)在x≠x0時(shí)為零，所以+∞x0+εf()xxxdδδ（（?=)xfxxxd()?)x∫∫?∞00x?ε0由積分中值定理有：∞()()()x0+ε()()fxδx?xdx=fξδx?xdxx?ε<ξ

5、→xf(ξ)→f(x)，且00x0+εδ(x?x)dx=1∫0x0?ε∞所以f(x)δ(x?x)dx=f(x)∫00?∞∞特別地：時(shí)，x=0f(x)δ(x)dx=f(0)0∫?∞說明：∞也可作為∫f(x)δ(x?x0)dx=f(x0)δ函數(shù)的定義，?∞即函數(shù)可以通過它在積分號(hào)下對任一連續(xù)函數(shù)δf(x)的運(yùn)算性質(zhì)來定義。性質(zhì)2.（對稱性）：δ(x?x)=δ(x?x)—δ函數(shù)是偶函數(shù)00證明：設(shè)f(x)為定義在(?∞,+∞)的連續(xù)函數(shù)，則+∞ξ=x0?x?∞f(x)δ(x?x)=f(x?ξ)δ(ξ)(?dξ)∫∫00?∞∞∞∞=f(x?ξ)δ(ξ)dξ=f(x)=f(x)δ(x?x)dx∫

6、∫000?∞?∞?δ(x0?x)與δ(x?x0)在積分號(hào)下對任一連續(xù)函數(shù)f(x)的運(yùn)算性質(zhì)相同?δ(x0?x)=δ(x?x0)性質(zhì)3.()δ()()δ()fxx?x0=fx0x?x0上式的確切含義：在等式左右兩邊乘上任意連續(xù)函數(shù)?(x)以后，對x積分相等∞∞?(x)f(x)δ(x?x)dx=?(x)f(x)δ(x?x)dx∫∫000?∞?∞證明：當(dāng)x≠x時(shí)，等式兩邊均為零0當(dāng)x=x0時(shí)，等式兩邊均為f(x0)δ(x?x0)性質(zhì)4.xδ(x)=0證明：對任意的連續(xù)函數(shù)f(x)，均有：∞∞xδδ()()xfxdx=xfx()(0)x?=dx[()]xfx=0∫∫?∞?∞x=0連續(xù)函數(shù)f(x

7、)的任意性得xδ(x)=0另一種證法：由性質(zhì)3中令f(x)=x，則xδ(x?x)=xδ(x?x)000令x0=0，則xδ(x)=0性質(zhì)5：若為連續(xù)函數(shù)，且只有單根?(x)?(x)=0Nδ(x?x)，則kx(k=1,2?N)δ[?(x)]=∑kk=1?'(xk)證明：I.在含有第k個(gè)單根的區(qū)間內(nèi)，xk(xk?ε,xk+ε)xk+ε計(jì)算積分?！襢(x)δ[?(x)]dxxk?εb備忘：f(x)δ(x?x)dx=f(x)(a