狄拉克符號(dirac)

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1、狄拉克符號（Dirac）1狄拉克符號量子體系狀態(tài)的描述，前述波動力學(xué)和矩陣力學(xué)兩種方法，其共同特點是：與體系有關(guān)的所有信息都有波函數(shù)給出；極為重要的是波函數(shù)可以寫成各類力學(xué)量的本征函數(shù)的線性組合，而展開系數(shù)模平方具有力學(xué)量概率的含義。問題：能否不從單一角度描述體系，而用統(tǒng)一的方式全面概括體系的所有性質(zhì)及概念？狄拉克從數(shù)學(xué)理論方面，構(gòu)造了一個抽象的、一般矢量--態(tài)矢，并引進了一套“狄拉克符號”，簡潔、靈活地描述量子力學(xué)體系的狀態(tài)。1.1狄拉克符號的引入1.1.1態(tài)空間任何力學(xué)量完全集的本征函數(shù)系作為基矢構(gòu)成希爾伯特空間（以離散譜為例），微觀體系的狀態(tài)波函

2、數(shù)作為該空間的一個態(tài)矢，有（1）即為態(tài)矢在基矢上的分量，態(tài)矢在所有基矢上的分量構(gòu)成了態(tài)矢在這個表象中的表示（矩陣）（2）微觀體系所有可以實現(xiàn)的狀態(tài)都與此空間中某個態(tài)矢相對應(yīng)，故稱該空間為態(tài)空間注意：（1）式中的只是表示某力學(xué)量的本征態(tài)，而拋開其具體表象；（2）式的右方是的表象1.1.2態(tài)空間中內(nèi)積（標(biāo)積）的定義設(shè)態(tài)空間中兩個任意態(tài)矢與在同一表象中的分量表示各為與，則兩態(tài)矢內(nèi)積的定義為（3）注意：1.1.3狄拉克符號的引入態(tài)空間中的與在形式上具有明顯的不對稱性，狄拉克認(rèn)為它們應(yīng)該分屬于兩個不同的空間伴隨空間11引入符號，稱為右矢[Ket矢，Bra矢（Br

3、acket括號）]微觀體系的一個量子態(tài)用表示，的集合構(gòu)成右矢空間，在右矢空間中的分量表示可記為矩陣（4）約定：右矢空間的態(tài)矢一律用字母表示力學(xué)量的本征態(tài)矢一律用量子數(shù)，或連續(xù)本征值表示引入符號，稱為左矢微觀體系的一個量子態(tài)也可用表示，但在同一表象中與的分量互為共軛復(fù)數(shù)（5）的集合構(gòu)成左矢空間引入狄拉克符號后，任意兩個態(tài)矢的內(nèi)積定義為同一表象下伴隨空間中相應(yīng)分量之積的和（6）這里仍為抽象的本征矢1.2基矢的狄拉克符號表示1.2.1離散譜力學(xué)量完全集的本征函數(shù)具有離散的本征值時，對應(yīng)的本征矢或等，構(gòu)成正交歸一化的完全系，可以作為矢量空間的基矢，作為基矢可表

4、示為……第n行（7）（1）基矢具有正交歸一性（8）（2）展開定理（9）11兩邊同時左乘得（10）說明展開系數(shù)是態(tài)矢在基矢上的分量（3）封閉性把代入中得，所以（11）稱為基矢的封閉性※狄拉克符號運算中非常重要的關(guān)系式1.2.2連續(xù)譜當(dāng)力學(xué)量本征值構(gòu)成連續(xù)譜時，對應(yīng)的基矢記為（1）正交歸一性（12）（2）展開定理（13）（14）（3）封閉性（15）注意：只表示某力學(xué)量抽象的本征矢，例如只表示本征值為的力學(xué)量的本征矢，而具體的基矢形式為：表象中，動量表象中，同理1.3態(tài)矢在基矢下的形式1.3.1離散譜基矢為，態(tài)矢記為或，用基矢展開（16）展開系數(shù)構(gòu)成在表象中

5、的分量，也可寫成11（17）相應(yīng)的左矢（18）（19）1.3.2連續(xù)譜（20）或（21）1.3.3注意：只表示一個抽象的態(tài)矢，只有為表象的波函數(shù)；為表象的波函數(shù)1.4線性厄米算符的作用1.4.1離散譜（1）算符作用在基矢上（22）算符矩陣元（23）（2）算符作用在態(tài)矢上（算符方程）（24）即有（25）或（26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具體表象中的算符方程，是算符作用前、后的態(tài)矢在表象中的分量，也是具體表象中的矩陣元。1.4.2連續(xù)譜（1）算符作用在基矢上（27）（28）11（2）算符作用在態(tài)矢上（算符方程）（29）具體表

6、象下（30）（31）例如即為表象中方程1.4.3算符對左矢空間的作用（1）算符對左矢空間的態(tài)矢從后向前作用，即；的共軛式應(yīng)該是，若考慮算符的厄米性則有（32）（2）由可得（33）最后列出幾個常用的公式例題1求證在動量表象中，薛定諤方程（34）可變?yōu)槲⒎帧e分方程式中是動量表象中的波函數(shù)解：因（35）利用式（34）可變?yōu)?1（36）因（37）而（38）將（38）代入（37）得（39）將（39）與（35）代入（36）得2關(guān)于一維線性諧振子的討論2.1坐標(biāo)表象一維線性諧振子算符及其本征函數(shù)在坐標(biāo)表象中為（40）（41）的本征值為（42）由厄米多項式的遞推公式

7、可導(dǎo)出對于諧振子在運算中常用關(guān)系式（43）（44）2.2能量表象以（或）為基矢，為自身表象（45）11對角矩陣對角元素即為的本征值由（43）有故（46）由（44）得故（47）由（46）（47）寫出矩陣如下2.3動量表象以（或）為基矢，2.3.1在動量表象的矩陣元11（48）實際上，動量表象中直接可得上述結(jié)果。2.3.2在動量表象中的本征函數(shù)式中利用厄米多項式的母函數(shù)構(gòu)成比較兩邊的系數(shù)，得根據(jù)厄米多項式的性質(zhì)得11最后得（49）2.4占有數(shù)表象2.4.1引入新算符（50）可見不是厄米算符（），二者的對易關(guān)系為[可由]（51）但二者之積構(gòu)成一厄米算符（52

8、）采用與時（53）2.4.2與的作用（1）因為上述算符都是表象中的表示，所以諧振子波函數(shù)也采用