壓縮感知中測量矩陣的優(yōu)化研究

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1、文獻閱讀報告課程名稱矩陣分析與線性空間任課老師王霞鄧科題目壓縮感知中測量矩陣的優(yōu)化研究研究生姓名高蕊董晨霓尚青學(xué)號311509101431153130143115091034目錄一、壓縮感知理論2二、常用測量矩陣42.1隨機高斯測量矩陣42.2隨機貝努利測量矩陣42.3部分哈達瑪測量矩陣52.4部分正交測量矩陣52.5稀疏隨機測量矩陣5三、測量矩陣的設(shè)計與優(yōu)化53.1基于近似QR分解的測量矩陣優(yōu)化方法53.2基于奇異值分解(SVD)的測量矩陣優(yōu)化方法63.3基于特征值分解的測量矩陣優(yōu)化方法73.4基于相關(guān)性梯度迭代的測量矩陣

2、優(yōu)化方法9四、總結(jié)12參考文獻13一、壓縮感知理論由采樣定理可知，如果想要從離散的數(shù)字信號中無失真地恢復(fù)出原始連續(xù)信號，則采樣頻率必須大于或等于原始信號頻率的兩倍。但是，隨著人們對信息需求量的不斷增加，奈奎斯特采樣率過高，導(dǎo)致采樣信息太大，而且先采樣后壓縮又導(dǎo)致了存儲空間的浪費。2006年,Donoho和Candes等人提出了一種全新的信號處理理論——壓縮感知理論。壓縮感知理論是利用信號的稀疏性或可壓縮性，通過低維空間采樣數(shù)據(jù)的非相關(guān)性測量來實現(xiàn)高維信號的近似或精確重構(gòu)。在壓縮感知的理論下，信號處理可以以遠遠低于奈奎斯特采樣

3、率的頻率進行采樣，同時又能保留信號的有用信息，繼而可以完全恢復(fù)信息。壓縮感知的核心思想是在已知信號本身是稀疏的或可以系數(shù)表示的前提下，通過設(shè)計一種測量矩陣將原始的高維信號投影到一個低維的空間上，然后求解一個非線性優(yōu)化問題就可以從少量的測量值中較高概率地恢復(fù)出原始信號。因此，壓縮感知理論包含了三個主要方面：稀疏表示、非相關(guān)測量、非線性優(yōu)化重建。設(shè)長度為N的離散實值信號x，在某種變換域下，可以用一組基的線性組合表示成：或者其中，s是x在域中的變換向量，是的變換矩陣。當信號x在基上只有個K<

4、x經(jīng)過一個大小為的測量矩陣線性投影，得到長度為的測量值y：（1.1）其中為測量矩陣，大小為。若x是可壓縮的，則上式可表示為：其中，大小為，是稀疏基。由于式（1.1）中，，方程個數(shù)遠比未知數(shù)的個數(shù)少，所以求解這個方程是十分困難的。要想使式（1.1）有確定的解，則必須滿足等距約束性條件（RestrictedIsometryProperty，RIP）：對于任意具有嚴格K稀疏的向量s，矩陣滿足如下不等式其中，為等距約束常數(shù)，且。然而，實際中要直接驗證矩陣是否滿足RIP條件是十分困難的，于是我們可以用RIP的等價情況，即非相干性來引導(dǎo)

5、矩陣的設(shè)計。矩陣和矩陣的相干性定義為：可知，相干系數(shù)。相干系數(shù)越小，則矩陣和的非相干性越大，就越能精確地重建原始信號。信號重建就是求解式（1.1）的逆問題?？梢酝ㄟ^求解范數(shù)最小問題得到稀疏系數(shù)s的近似，也就是含有最少非零元素的解。然后通過就可以將x求解出來。由于范數(shù)難以求解，可以通過求解它的等價問題范數(shù)最小問題來解得x。二、常用測量矩陣2.1隨機高斯測量矩陣構(gòu)造一個大小為的矩陣，使中的每一個元素獨立的服從均值為0，方差為1/M的高斯分布，即：文獻[1]中證明，當隨機高斯測量矩陣的測量數(shù)時，便會以極大的概率滿足RIP條件。隨機

6、高斯測量矩陣與大多數(shù)的正交基不相關(guān)，而且精確重構(gòu)所需的測量數(shù)比較少。2.2隨機貝努利測量矩陣構(gòu)造一個大小為的矩陣，使中的每一個元素獨立服從貝努利分布，即：或同隨機高斯測量矩陣一樣，當隨機貝努利測量矩陣的測量數(shù)時，便會以極大的概率滿足RIP條件(其中c是一個很小的常數(shù))。相對于隨機高斯測量矩陣，由于隨機貝努利測量矩陣的元素為±1,所以在實際應(yīng)用中更容易實現(xiàn)和存儲。2.3部分哈達瑪測量矩陣首先生成一個大小的哈達瑪矩陣，然后隨機的從該哈達瑪矩陣中選取M行向量，構(gòu)成一個大小為的測量矩陣。由于哈達瑪矩陣是正交矩陣，故部分哈達瑪矩陣仍舊

7、具有較強的非相關(guān)性，但其維數(shù)的大小必須滿足2的整數(shù)倍，限制了該矩陣的應(yīng)用范圍。2.4部分正交測量矩陣首先生成大小為的正交矩陣U，然后在矩陣U中隨機的選取M行向量，最后對大小的矩陣進行列向量歸一化，即得到測量矩陣。在矩陣大小固定的情況下，要是信號能夠精確重建，其稀疏度要滿足：。當時，部分正交矩陣就變?yōu)椴糠指道锶~矩陣。2.5稀疏隨機測量矩陣首先生成一個大小為的全零矩陣，且。然后對于矩陣的每一列，隨機的選取d個位置并置1。稀疏隨機矩陣結(jié)構(gòu)簡單,在實際應(yīng)用中易于構(gòu)造和保存。三、測量矩陣的設(shè)計與優(yōu)化壓縮感知理論的關(guān)鍵就是測量矩陣的設(shè)計

8、。一個好的測量矩陣可以使稀疏信號有效的投影到一個低維的空間上而且在壓縮的過程中不會丟失攜帶的有用信息，在重建的過程中使用重構(gòu)算法能夠確保信號被恢復(fù)出來。在文獻[1]中，我們得知設(shè)計的測量矩陣必須要滿足幾個性質(zhì)：（1）測量矩陣的列向量必須滿足一定的獨立性；（2）測量矩陣的列向量要具有跟噪聲類