球面距離公式(武功曉)

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1、球面距離公式西盟一中武功曉郵編：665700內(nèi)容摘要：揭示球面上兩點距離計算的簡便的統(tǒng)一公式關(guān)鍵詞：球面距離統(tǒng)一公式球面距離一直是困擾高中數(shù)學(xué)老師和地理老師進行教學(xué)的一個難點，概念多、公式多、計算復(fù)雜，難得記憶，本人試圖用一個統(tǒng)一的公式加以解決。為了說明公式的優(yōu)越，現(xiàn)從以下幾個方面加以總結(jié)。一、地理知識1、概念緯線：在地球儀上，順著東西方向環(huán)繞地球一周的圓圈。經(jīng)線：在地球儀上，連接南北兩極并與緯線垂直相交的線。2、經(jīng)度和緯度的比較經(jīng)度緯度定義兩面角，即該點所在經(jīng)線平面與本初子午線平面間的夾角。線面角，即該點與地心的連線與赤道平面之

2、間的夾角。0°起算點本初子午線（0°經(jīng)線）赤道（0°緯線）劃分方法以0°經(jīng)線為界，向東、西各劃分180°，0°經(jīng)線以東為東經(jīng)度，以西為西經(jīng)度。以0°緯線為界，向南、向北各劃分90°，0°緯線以北為北緯度，以南為南緯度。代號東經(jīng)（E），西經(jīng)（W）南緯（S），北緯（N）分布規(guī)律東經(jīng)度的度數(shù)愈向東愈大西經(jīng)度的度數(shù)愈向西愈大。北緯的度數(shù)愈向北愈大，南緯的度數(shù)愈向南愈大。半球的劃分以20°W和160°E為界20°W向東到116°為東半球20°W向西到116°為西半球以赤道為界赤道以北為北半球赤道以南為南半球860°40°20°0°20°40

3、°60°3、方格狀經(jīng)緯網(wǎng)圖60°40°20°0°20°40°60°1）橫線代表緯線，縱線代表經(jīng)線。2）緯度數(shù)由南向北增大的為北緯，由北向南增大的為南緯；經(jīng)度數(shù)由西向東增大的為東經(jīng)，由東向西增大的為西經(jīng)。4、球面距離，在地球表面上，兩地間的最短距離是通過兩點的球面大圓的劣弧段。二、地理學(xué)科中球面距離的計算利用經(jīng)緯網(wǎng)求地球上的兩點距離。1）同一經(jīng)線上的兩點，其經(jīng)度差為θ，距離為·θ＝111千米×θ（θ單位為0°）.2）同一緯線上的兩點（緯度為4），其經(jīng)度差為β，則其距離為×cosφ×β（φ與β的單位為0°）。＝111千米×cosφ×β

4、83）兩點經(jīng)度和緯度均不同，計算兩點間距離時要進行估算，若兩點經(jīng)度和緯度均相差較大，則要分別算出兩點在經(jīng)線、緯線方向上的距離。再用勾股定理計算，若兩點經(jīng)度和緯度有一項相差較小，則先假設(shè)兩點的經(jīng)度相同或緯度相同，然后再根據(jù)實際情況擴大或縮小，另外也可以先算出比例尺，進而算出兩點間的距離。例1．地球上北緯30°圈上有A、B兩點，又A在兩經(jīng)10°，B在東經(jīng)110°，球A、B兩點的球面距離（設(shè)地球半徑R＝6371km）略解：由已知α＝30°，β＝120°AB＝111×cos30°×120≈11535.46（km）48°E34°NB29°N

5、CA36°E例2．若A地在東經(jīng)36°，北緯34°，B地在東經(jīng)48°，北緯29°，球A、B兩地的球面距離。圖一略解：兩點既不在同一緯線上，也不在同一經(jīng)線上，若不考慮地球球面的影響，兩點間的直線距離可由色股定理求出，如圖一：在南北方向上，兩點相差5個緯度，其距離為AC＝115×5＝555（千米）；在東西方向上，兩地相差12個經(jīng)度，其距離為BC＝12×111×cos30°≈1150千米，由此可計算出A、B兩地的距離約為AB＝＝1276.92（千米）三、數(shù)學(xué)學(xué)科中球面距離的計算設(shè)球面上兩點間的球心角為α弧度，球半徑為R，則球面上兩點距離為

6、

7、α

8、·R。計算球面距離關(guān)鍵是確定球心角。1、兩點在同經(jīng)線圓上，可直接計算兩點間劣弧長度。8O0°BARαO0°BARαB圖二圖三此時A、B兩點在同一大圓上，而大圓半徑為R，若A、B在同一半球（圖二）則α為緯度差；若A、B在不同半球上（圖三）則α為緯度和。此時，AB＝Rα（α為∠AOB的弧度數(shù)）。2、兩點在同一緯線圓上，先求弦長，由余弦定理求球心角。因為兩點A、B在同一緯度圈上，所以可求出緯度圈小圓半徑O1A，α為小圓兩半徑O1A，O1B的夾角。（圖四）圖四若A、B在同一半球，則α為經(jīng)度差；若A、B在不同半球，則α為經(jīng)度和，此時，

9、A、B在緯度圈上的弦長AB＝。求A、B的球面距離，關(guān)鍵在于求∠AOB，由余弦定理求出∠AOB＝β，此時AB＝R·β（β是∠AOB的弧度數(shù)，AB指球面距離）。3、兩點經(jīng)緯都不同時，用異向直線上兩點距離公式l2＝m2＋n2＋d28±2mncosθ求弦長，再由余弦定理求球心角。圖五由已知可求出⊙O1，⊙O2的半徑r1，r2及O1O2的長∵O1O2⊥⊙O1，O1O2⊥⊙O2∴O1O2⊥O1A，且O1O2⊥O2B即O1O2為兩異面直線的公垂線段d，A、B分別在兩異面直線上，且分別到公垂線的距離為r1、r2，則AB2＝d2＋r21＋r22±2

10、r1r2cosθ，其中θ為兩異面直線的夾角，即A、B兩點的經(jīng)度差或經(jīng)度和，取“＋”還是“－”要看A、B的位置，前例1，略解，如圖六，由已知∠OBO1＝30°，∠AO1B＝120°且O1B＝，在△O1AB中，有AB2＝AO21＋BO21－2AO1·B