球面距離的計算.doc

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1、球面距離的計算經(jīng)典范例　　　1．位于同一緯度線上兩點的球面距離　　例1?已知，B兩地都位于北緯，又分別位于東經(jīng)和，設(shè)地球半徑為，求，B的球面距離．　　分析：要求兩點，B的球面距離，過，B作大圓，根據(jù)弧長公式，關(guān)鍵要求圓心角的大?。ㄒ妶D1），而要求往往首先要求弦的長，即要求兩點的球面距離，往往要先求這兩點的直線距離．　　解?作出直觀圖（見圖2），設(shè)為球心，為北緯圈的圓心，連結(jié)，，，，．由于地軸平面．　　∴與為緯度，為二面角的平面角．　　∴（經(jīng)度差）．　　△中，．　　△中，由余弦定理，　　　　　?。　　髦?，由余弦定理：

2、　　，　　∴．　　∴的球面距離約為．　　2．位于同一經(jīng)線上兩點的球面距離例2?求東經(jīng)線上，緯度分別為北緯和的兩地，B的球面距離．（設(shè)地球半徑為）．（見圖3）　　解?經(jīng)過兩地的大圓就是已知經(jīng)線．　　，．　　3．位于不同經(jīng)線，不同緯線上兩點的球面距離例3?地位于北緯，東經(jīng)，B地位于北緯，東經(jīng)，求，B兩地之間的球面距離．（見圖4）　　解?設(shè)為球心，，分別為北緯和北緯圈的圓心，連結(jié)，，．　　△中，由緯度為知，　　∴，　　?。　　髦?，，　　∴，　　∴．　　注意到與是異面直線，它們的公垂線為，所成的角為經(jīng)度差，利用異面直線上兩

3、點間的距離公式．　?。榻?jīng)度差）　　　　　　　?。　　髦?，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．　　∴．　　∴的球面距離約為．球面距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用球面上兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這段弧長叫做兩點的球面距離，常見問題是求地球上兩點的球面距離。對于地球上過A、B兩點大圓的劣弧長由球心角AOB的大小確定，一般地是先求弦長AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB。下面我們運用坐標法來推導(dǎo)地球上兩點球面距離的一個公式。地球球面上的點的位置由經(jīng)度、緯度確定，我們引入有

4、向角度概念與經(jīng)度、緯度記法：規(guī)定東經(jīng)為正，西經(jīng)為負；北緯為正，南緯為負（如西經(jīng)30o為經(jīng)度α=-30o，南緯40o為緯度β=-40o），這樣簡單自然，記球面上一點A的球面坐標為A（經(jīng)度α，緯度β），兩標定點，清晰直觀。設(shè)地球半徑為R，球面上兩點A、B的球面坐標為A（α1，β1），B（α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-，]，如圖，設(shè)過地球O的球面上A處的經(jīng)線與赤道交于C點，過B的經(jīng)線與赤道交于D點。設(shè)地球半徑為R；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。另外，以O(shè)為原點，以O(shè)C所

5、在直線為X軸，地軸所在直線ON為Z軸建立坐標系O-XYZ（如圖）。則A（Rcosβ1,0,Rsinβ1）,B(Rcosβ2cos（α1-α2）,Rcosβ2sin（α1-α2）,Rsinβ2)cos∠AOB=cos〈OA，OB〉=cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2∠AOB=arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]其中反余弦的單位為弧度。于是由弧長公式，得地球上兩點球面距離公式：=R·arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ

6、2]（I）上述公式推導(dǎo)中只需寫出A，B兩點的球面坐標，運用向量的夾角公式、弧長公式就能得出結(jié)論，簡單明了，易于理解，公式特征明顯.從公式的推導(dǎo)中我們體會到坐標法在解決立幾問題的不凡表現(xiàn)。由公式（I）知，求地球上兩點的球面距離，不需求弦AB，只需兩點的經(jīng)緯度即可。公式對求地球上任意兩點球面距離都適用,特別地，A、B兩點的經(jīng)度或緯度相同時，有：1、β1=β2=β，則球面距離公式為：=R·arcos[cos2βcos（α1-α2）+sin2β]（II）2、α1-α2=α，則球面距離公式為：=R·arcos（cosβ1cos

7、β2+sinβ1sinβ2）=R·arcoscos（β1-β2）（III）例1、設(shè)地球半徑為R，地球上A、B兩點都在北緯45o的緯線上，A、B兩點的球面距離是R，A在東經(jīng)20o，求B點的位置。分析：α1=20o，β1=β2=45o，由公式（II）得：R=R·arcos[cos245ocos（20o-α2）+sin245o]cos=cos（20o-α2）+∴cos（20o-α2）=0,20o-α2=±90o即：α2=110o或α2=-70o所以B點在北緯45o，東經(jīng)110o或西經(jīng)70o例2、（2002年第六屆北京高中數(shù)

8、學知識應(yīng)用競賽試題）北京時間2002年9月27日14點，國航CA981航班從首都國際機場準時起飛，當?shù)貢r間9月27日15點30分，該航班正點平穩(wěn)降落在紐約肯尼迪機場；北京時間10月1日19點14分，CA982航班在經(jīng)過13個小時的飛行后，準點降落在北京首都國際機場，至此國航北京--紐約直飛首航成功完成。這是中國承運人第一次經(jīng)極地經(jīng)營北京--紐約