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1、7.2矩陣的概念和運算主要內(nèi)容：一.矩陣的概念.二.矩陣的加法和減法.三.數(shù)與矩陣相乘.四.矩陣與矩陣相乘.五.利用矩陣表示線性方程組.1由m×n個數(shù)排成的m行n列數(shù)表稱為一個m行n列矩陣，簡稱為m×n矩陣．其中aij表示第i行第j列處的元素，i稱為aij的行指標，j稱為aij的列指標．一、矩陣的概念定義12矩陣通常用A，B，C…大寫字母表示，若需指明矩陣的行數(shù)和列數(shù)常寫為或．例如：為一個2×3矩陣．在以后的討論中，還會經(jīng)常用到一些特殊的矩陣，下面分別給出他們的名稱,元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作O或0，如：3當m=n時
2、，稱A為n階矩陣（或n階方陣）．只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩陣，分別稱為行矩陣和列矩陣，如：4若方陣的元素aij=0（i≠j），則稱A為對角矩陣，aii（i=1,2,…,n）稱為A的對角元，如為二階對角矩陣．對角元全為數(shù)1的對角矩陣稱為單位矩陣，n階單位矩陣記為In．5形如的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣．6把矩陣的行與列依次互換，得到的矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣．即矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣一個m行n列矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣是一個n行m列的矩陣．7那么就稱這兩個矩陣相等.例1已知而且A=B，求a,b,c,d．解根據(jù)矩陣相等的定
3、義，可得方程組8解得a=5,b=2,c=2,d=-1，即當a=5,b=2,c=2,d=-1時A=B．應當注意的是：矩陣與行列式是兩個不同的概念，行列式是一個算式，計算結果是一個數(shù)，而矩陣是有數(shù)構成的一個數(shù)表；記法也不同，行列式用的是兩條豎線，而矩陣用的是一對圓括號或中括號．9顯然，兩個m行n列的矩陣相加（減）得到的和（差）仍是一個m行n列的矩陣．應注意，只有當兩個矩陣的行數(shù)與列數(shù)分別相同時，它們才能作加減運算．容易驗證，矩陣的加法運算滿足以下規(guī)律：（１）交換律：A+B=B+A；（２）結合律：(A+B)+C=A+(B+C)．
4、二、矩陣的加法和減法10例2已知求A+AT和A-AT．1112定義一個數(shù)k與一個m行n列矩陣相乘，它們的乘積為kA，并且規(guī)定Ak=kA．例如，設三、數(shù)與矩陣相乘13設甲、乙兩家公司生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種型號的計算機，月產(chǎn)量（單位：臺）為如果生產(chǎn)這三種型號的計算機的每臺的利潤（單位：萬元/臺）為四、矩陣與矩陣相乘14則這兩家公司的月利潤（單位：萬元）應為可見，甲公司每月的利潤為29．1萬元，乙公司的利潤為34．1萬元．矩陣與矩陣乘法的一般定義如下：則由元素15構成的m×n矩陣稱為矩陣A與B的乘積，記為C=AB．⑶乘積C中第i行第
5、j列元素Cij等于A的第i行元素與B的第j列元素對應乘積之和，即．⑴A的列數(shù)必須等于B的行數(shù)，A與B才能相乘；⑵乘積C的行數(shù)等于A的行數(shù)，C的列數(shù)等于B的列數(shù)；由定義可知：16AD無意義．171819由上例可知，單位矩陣I在矩陣的乘法中與數(shù)1在數(shù)中的乘法中所起的作用相似．若兩個矩陣A與B滿足AB=BA，則稱A與B是可交換的由于矩陣乘法不滿足交換律，所以在進行運算時，千萬要注意，不能把左、右次序顛倒．矩陣乘法滿足如下運算規(guī)律：（１）結合律：(AB)C=A(BC)；（２）分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+C
6、A；（３）k(AB)=(kA)B=A(kB)，k為任意常數(shù)．20因為AB=BA，所以A與B可交換.21稱為矩陣A的k次冪．矩陣A的運算滿足由于矩陣乘法一般不滿足交換律，因此一般來說2223對于線性方程組五、利用矩陣表示線性方程組24它是一個m行一列的矩陣，根據(jù)矩陣相等的定義可得所以方程組可以用矩陣的乘法來表示．方程組中系數(shù)組成的矩陣A稱為系數(shù)矩陣，25方程組中系數(shù)與常數(shù)組成的矩陣稱為增廣矩陣，記為26例7利用矩陣表示線性方程組27因為，所以方程組可表示為281.矩陣的概念2.矩陣的相等3.矩陣的加減4.數(shù)乘與轉(zhuǎn)置5.矩陣的
7、乘法6.逆矩陣7.矩陣方程六、小結七、作業(yè)習題7.2135729
