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1、矩陣的概念與基本運算歐陽順湘北京師范大學(xué)珠海分校2005.3.27稱為方程組的增廣矩陣稱為方程組的系數(shù)矩陣設(shè)有線性方程組線性方程組與矩陣之間可建立一一對應(yīng)的關(guān)系定義1由m×n個數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)稱為m×n矩陣.排成的m行n列數(shù)表,記成某學(xué)校印刷廠印制甲、乙、丙三種類型的作業(yè)本，一、二月份的生產(chǎn)與銷售情況如下表：的第一個下標(biāo)稱為行標(biāo)，第二個下標(biāo)稱為列標(biāo)。稱作矩陣的元素。矩陣，●矩陣的概念●行矩陣（行向量）——只有一行的矩陣。等……●列矩陣（列向量）——只有一列的矩陣。等……幾種特殊形式的矩陣等…
2、…●零矩陣——所有元素都為零的矩陣，簡記作?！穹疥嚒袛?shù)和列數(shù)相等的矩陣。如：等……二階方陣三階方陣n階方陣如等……●對角形矩陣——主對角線上的元素不全為零，其它的元素都為0的方陣，簡記作?！駟挝痪仃嚒鲗蔷€上的元素都是1的對角形矩陣，簡記作。如：等……●上三角形矩陣——主對角線下方元素全為零、上方的元素不全為0的方陣。如：等……●下三角形矩陣——主對角線上方的元素全為零，下方的元素不全為0的方陣。●同型矩陣：有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)的兩個矩陣，稱為同型矩陣。如：只有矩陣與矩陣同型注意：同型是相等的必要條件?！裣嗟染仃?/p>
3、：若兩矩陣同型且對應(yīng)位置上 的元素相等，則稱相等，記 作。如：且，例題：已知求的值。，，關(guān)系式矩陣的基本運算及性質(zhì)＋，－×（有兩種），/一矩陣的加法定義2設(shè)A=(aij),B=(bij)都是m×n矩陣,矩陣A與B的和例1記成A+B,規(guī)定為兩個印刷廠：矩陣的加法運算滿足規(guī)律2.(A+B)+C=A+(B+C)(結(jié)合律)3.A+0=A4.設(shè)A=(aij),記–A=(?aij),規(guī)定A?B=A+(?B)二數(shù)與矩陣的乘法定義3規(guī)定為稱–A為A的負(fù)矩陣,1.A+B=B+A(交換律)易知A+(?A)=0例2若那么3A=A3數(shù)乘矩陣的運算滿
4、足規(guī)律：A,B為矩陣.三矩陣與矩陣的乘法定義4設(shè)A=(aij)是一個m×s矩陣,B=(bij)是一個s×nA與B的乘積記成AB，即C=AB.規(guī)定A與B的積為一個m×n矩陣C=(cij)，其中AB=ABm×ss×nm×n矩陣,例3例4例5例6一般來說，AB≠BA,若矩陣A、B滿足AB=0,n階矩陣稱為單位矩陣.如果A為m×n矩陣，那么即矩陣的乘法不滿足交換律.未必有A=0或B=0的結(jié)論.n階矩陣稱為對角矩陣.兩個對角矩陣的和是對角矩陣，兩個對角矩陣的積也是對角矩陣.矩陣的乘法滿足下述運算規(guī)律●矩陣的基本運算及性質(zhì)（1）交換律A
5、+B=B+A（2）結(jié)合律（A+B）+C=A+（B+C）●矩陣的加法矩陣加法的運算規(guī)律：注意：只有同型矩陣才能相加。例顯然成立●矩陣的減法設(shè)，則稱矩陣為A的負(fù)矩陣，記作。若A、B為同型矩陣，則規(guī)定即，●數(shù)乘矩陣如：若，則注意：數(shù)乘矩陣時，矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)K。等……數(shù)量矩陣●數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律：●矩陣的乘法設(shè)則其中行列左矩陣右矩陣A的列數(shù)B的行數(shù)例如：無意義！左邊矩陣右邊矩陣的列數(shù)的行數(shù)注意：AB存在，BA無意義，例題：計算下列各題（1）（2）AB與BA不同型同型但不相等。（3）（4）（5）（6）特殊AB=BA（1）一
6、般地，，即乘法不滿足交換律。（2）當(dāng)AB=BA時，稱A、B為可交換矩陣，或稱A、B可交換。此時，A、B必為同階方陣。小結(jié)與特別地，有：，即可交換。（8）（7）或矩陣的乘法運算不滿足消去律●矩陣相乘的運算規(guī)律：一般地：或若A是方陣，則乘積有意義，記作稱為A的k次冪?；颍?）（2）（3）（4）（5）性質(zhì)●線性方程組的矩陣表示法（2）——（1）若記：則方程組（1）可記為：
