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1、第二章矩陣§1矩陣的概念§2矩陣的線性運算、乘法和轉(zhuǎn)置運算下頁第二章矩陣本章要求１．掌握矩陣的運算，了解方陣的冪、方陣乘積的行列式；２．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)及矩陣可逆的充要條件，掌握求逆矩陣的方法（伴隨矩陣求逆及初等變換求逆）；３．掌握矩陣的初等變換和求矩陣的秩的方法.本章重點用初等變換求逆矩陣及求矩陣的秩的方法.下頁在某些問題中，存在若干個具有相同長度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個方程對應一個有序數(shù)組：a11x1+a12x2+???+a1nxn=b1a21x1+a22x2+???+a2nxn=b2a
2、m1x1+am2x2+???+amnxn=bm??????????????????(a11a12???a1nb1)????????????(a21a22???a2nb2)(am1am2???amnbm)→→→→這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個表a11a12???a1nb1???????????????a21a22???a2nb2am1am2???amnbm這個表就稱為矩陣.§1矩陣的概念下頁其中aij稱為矩陣的第i行第j列的元素.一般情況下，我們用大寫字母A，B，C等表示矩陣.m?n矩陣A簡記為A?(aij)m?n或記作Am
3、?n.a11a12???a1n????????????a21a22???a2nam1am2???amn定義1由m?n個數(shù)aij(i?1,2,???,m；j?1,2,???,n)排成一個m行n列的矩形表稱為一個m?n矩陣，記作下頁零矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母a，b，x，y等表示.例如a=(a1a2???an)，b1b2???bmb=.負矩陣-a11-a12???-a1n????????????-a21-a22???-a2
4、n-am1-am2???-amn稱矩陣為A的負矩陣,記作–A.下頁b11b21???bn10b22???bn2????????????00???bnnB=.A=.a11a12???a1n0a22???a2n????????????00???ann如下形式的n階矩陣稱為上三角形矩陣.三角形矩陣如下形式的n階矩陣稱為下三角形矩陣.方陣若矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱A為n階矩陣，或稱為n階方陣.下頁a110???00a22???0????????????00???annA=.對角矩陣如下形式的n階矩陣稱為對角矩陣.對角
5、矩陣可簡單地記為A=diag(a11,a22,???,ann).單位矩陣如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣，記為En或E.10???001???0????????????00???1E=.定義2矩陣相等：設A?(aij)，B?(bij)為同階矩陣，如果aij?bij(i?1,2,???,m；j?1,2,???,n)，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A?B.下頁第二節(jié)矩陣的線性運算、乘法和轉(zhuǎn)置運算四、轉(zhuǎn)置矩陣及對稱方陣一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣的乘法三、矩陣的乘法五、方陣的行列式下頁一、矩陣的加法定義1設A與B為兩個m?n矩陣
6、A?Ba11+b11a12+b12???a1n+b1n?????????????????????a21+b21a22+b22???a2n+b2nam1+bm1am2+bm2???amn+bmn=.a11a12???a1n????????????a21a22???a2nam1am2???amnA=，b11b12???b1n????????????b21b22???b2nbm1bm2???bmnB=，A與B對應位置元素相加得到的m?n矩陣稱為矩陣A與B的和，記為A?B.即C=A+B.下頁例1．設357220430123A
7、=，132021570648B=，則357220430123A+B=132021570648+3+15+37+22+02+20+14+53+70+01+62+43+8=48924191007611.=矩陣的加法：設A?(aij)m?n與B?(bij)m?n，則A+B=(aij+bij)m?n。下頁設A,B,C都是m?n矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運算規(guī)律：（1）交換律：A+B=B+A;（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C);（3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣;矩陣的減法可定義為:顯然：若A=B，則
8、A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣.下頁a11a12???a1n????????????a21a22???a2nam1am2???amnA=，定義2設A?(aij)為m?n矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個元素所得到的m?n矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA.即ka11ka12
