平面彎曲梁的彎矩圖的數(shù)值畫法研究

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1、平面彎曲梁的彎矩圖的數(shù)值畫法研究：平面彎曲梁的內(nèi)力圖包括剪力圖和彎矩圖。繪制內(nèi)力圖的主要方法包括理論法和數(shù)值法。數(shù)值法繪制內(nèi)力圖時(shí)，尤其對(duì)于分布載荷作用的梁，所繪圖形的精確與否取決于單元的劃分。文章正是對(duì)受到分布載荷的梁，研究應(yīng)用有限元的數(shù)值法繪制內(nèi)力圖的方法?！　￡P(guān)鍵詞：均布載荷；懸臂梁；彎矩圖；數(shù)值法　　梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，橫截面上有剪力和彎矩兩種內(nèi)力分量。一般情況下，剪力和彎矩沿著橫截面總是變化的。剪力圖和彎矩圖能形象直觀地描述這種變化。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，兩個(gè)內(nèi)力中，主要由彎矩來決定梁的安全性。針對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，

2、應(yīng)用理論法和數(shù)值法作彎矩圖，并由理論法的結(jié)果來指導(dǎo)數(shù)值繪制?！　±L制平面彎曲梁彎矩圖的理論方法主要包括：內(nèi)力方程法和微分關(guān)系法。所謂內(nèi)力方程法，就是用數(shù)學(xué)函數(shù)描述出彎矩隨截面位置的變化規(guī)律，即醞越醞（曾）；然后在以曾為橫坐標(biāo)，醞為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中描繪出函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖形，此圖即為彎矩圖。微分關(guān)系法就是：應(yīng)用彎矩醞（曾）和載荷集度擇（曾）之間的微分關(guān)系d2M(x)dx2越擇（曾）總結(jié)出一些內(nèi)力和外力之間滿足的規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律，再結(jié)合數(shù)學(xué)中的圖形特征直接繪制出彎矩圖的一種方法。　　有限元作為一種數(shù)值分析方法，

3、它的功能非常強(qiáng)大，繪制內(nèi)力圖就是它許多功能中的一種。在用數(shù)值法繪制彎矩圖時(shí)，如果研究方法不當(dāng)，此時(shí)數(shù)值法所繪圖形與理論法所繪圖形差別可能非常大。文章對(duì)受均布載荷作用下的懸臂梁，應(yīng)用數(shù)值法繪制彎矩圖，并研究通過X格劃分的不斷改進(jìn)來提高彎矩圖的精度的方法。易起.17.　　1理論法繪制內(nèi)力圖　　如圖1，長(zhǎng)度為1皂的細(xì)長(zhǎng)懸臂梁，左端固定，整個(gè)梁上作用有向下集度為擇越200暈轅皂的均布載荷。梁材料的彈性模量為200鄖孕葬，泊松比為0.3，截面高度為5糟皂，寬度為2糟皂?！　冶哿旱膹澗胤匠虨獒j（曾）越原2擇（1原曾

4、）2（0約曾臆1）　　用內(nèi)力方程法繪制出梁的彎矩圖（見圖2）。由內(nèi)力圖可知，在均布載荷作用下，懸臂梁的彎矩圖為一條二次曲線?！　?數(shù)值法繪制內(nèi)力圖　　應(yīng)用平面梁?jiǎn)卧略呕涐j3進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并且通過劃分不同個(gè)數(shù)的單元進(jìn)行比較?！　。?）劃分成1個(gè)單元。因?yàn)檎麄€(gè)梁上只有均布載荷，可以劃分為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和1個(gè)單元進(jìn)行有限元計(jì)算。圖3為1個(gè)單元時(shí)所繪的彎矩圖。由圖3可以看出，彎矩圖為一條直線，與理論結(jié)果相差很6，究其原因，因?yàn)樵跀?shù)值作圖過程中使用的是直線連線方法，又因節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)太少，只有兩個(gè)，從而導(dǎo)致圖形只能反映兩個(gè)節(jié)

5、點(diǎn)之間的數(shù)值變化。下面通過增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，以期改善彎矩圖的數(shù)值結(jié)果。　?。?）劃分成10個(gè)單元。將節(jié)點(diǎn)及單元個(gè)數(shù)增加重新進(jìn)行計(jì)算。圖4為10單元模型的彎矩圖。從圖4可以看出，隨著單元個(gè)數(shù)的增加，數(shù)值法所繪彎矩圖與理論法更加接近。分析原因，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，在數(shù)值繪圖時(shí)所得的彎矩圖就能更加準(zhǔn)確地反映所有這些節(jié)點(diǎn)之間的數(shù)值的變化，也就是彎矩值隨截面位置的變化，從而整個(gè)圖形的趨勢(shì)就與理論圖比較接近了。　　3結(jié)論　　由以上的分析研究可以得出以下的幾點(diǎn)結(jié)論：淤利用1個(gè)單元和10個(gè)單元計(jì)算得出梁兩端支座處的彎矩值（原

6、100暈.皂2，0）與理論計(jì)算值完全吻合；于彎矩圖為曲線段。此時(shí)，節(jié)點(diǎn)和單元個(gè)數(shù)對(duì)圖形形狀影響明顯。當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和單元個(gè)數(shù)較少時(shí)，數(shù)值圖見圖3與圖2相差很6，而當(dāng)節(jié)點(diǎn)和單元個(gè)數(shù)較多時(shí)，數(shù)值圖見圖4與圖2的變化趨勢(shì)比較一致。.17.　　可見，數(shù)值法所繪彎矩圖的精確度受到X格劃分過程中單元的數(shù)量的影響。在用直線連接繪制圖形時(shí)，需要比較多的節(jié)點(diǎn)和單元才可以得出比較準(zhǔn)確的彎矩圖。一般情況下，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，單元個(gè)數(shù)越多，所繪彎矩圖會(huì)越接近理論解。當(dāng)然，如果考慮計(jì)算速度及效率，在增加節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的同時(shí)，也要結(jié)合實(shí)際載荷情況

7、，選擇最少而最有效的節(jié)點(diǎn)?？傊?，可以有以下兩個(gè)原則：淤當(dāng)梁上載荷較簡(jiǎn)單時(shí)，比如集中力或集中力偶作用的情況。選擇節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需要在載荷作用處建立節(jié)點(diǎn)劃分單元即可。因?yàn)榇藭r(shí)彎矩圖為直線段組成，在載荷作用點(diǎn)之間增加節(jié)點(diǎn)會(huì)降低計(jì)算速度，但并不能起到改變圖形趨勢(shì)的作用；于當(dāng)梁上載荷較為復(fù)雜時(shí)，比如分布載荷作用的情況。在分布載荷作用區(qū)域，適當(dāng)采用比較多的節(jié)點(diǎn)能達(dá)到使圖形更準(zhǔn)確，趨勢(shì)更接近理論圖的效果。