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《凹凸函數(shù)之切線放縮》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、凹凸函數(shù)之切線放縮-----江西省于都中學(xué)李先源最近在學(xué)選修2-2，很多不等式的證明都涉及放縮法、構(gòu)造法、拆分、引入增量，記得前不久看到泰勒展開(kāi)，談到超越函數(shù)（不等式）可以近似成多項(xiàng)式函數(shù)（不等式），其中就有一個(gè)特例，將超越函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線）進(jìn)行放縮，即變成，或（等號(hào)成立的條件恰好是切點(diǎn)時(shí)滿足）。這里特例舉幾個(gè)題目來(lái)談?wù)勊膽?yīng)用吧。例1、，已知數(shù)列滿足，且滿足，則()A.最大值6030B.最大值6027C有最小值6027.D.有最小值6030解析：A．，當(dāng)時(shí)，=6030對(duì)于函數(shù),,在處的切線方程為即，則成立，所以當(dāng)時(shí)，有例2、已知函數(shù)．（1）求在上的最大值；（2）若
2、直線為曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，且，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．解析：（1），令，解得（負(fù)值舍去），由，解得．（?。┊?dāng)時(shí)，由，得，在上的最大值為．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，得，在上的最大值為．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，在時(shí)，，第4頁(yè)共4頁(yè)在上的最大值為．（2）設(shè)切點(diǎn)為，則由，有，化簡(jiǎn)得，即或，…①由，有，…②由①、②解得或．（3）當(dāng)時(shí)，，由（2）的結(jié)論直線為曲線的切線，，點(diǎn)在直線上，根據(jù)圖像分析，曲線在線下方．下面給出證明：當(dāng)時(shí)，．，當(dāng)時(shí)，，即．，，．要使不等式恒成立，必須．又當(dāng)時(shí)，滿足條件，且，因此，的最小值為．例3、若，且，則++≤證明：設(shè)g(x)=,則g′(x)=，g′
3、′(x)=，由g′′(x)＜0得-＜x＜，g′′(x)＞0得x＞或x＜-，∵g(x)在R上連續(xù)，故g(x)=在［-，］上是上凸的，在區(qū)間(-∞，-)，(，+∞)上是下凸的。由，則平衡值x0=，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)易求得g(x)=在x=處的切線為y=（2-x）,因x0=∈［-，］，g(x)=在［-，］上是上凸的，故g(x)=≤（2-x）恒成立。即≤（2-x1），≤第4頁(yè)共4頁(yè)（2-x2），≤（2-x3），三式相加并結(jié)合即得++≤。若將該題條件改為：若，且時(shí)，解法同理。此時(shí)平衡值x0=1，而g(x)=在x=1處的切線為y=-x+1,因x0=1∈(，+∞)，g(x)=在(，+∞)上是下凸的，故
4、g(x)=≥-x+1恒成立。即≥-x1+1，≥-x2+1，≥-x3+1三式相加并結(jié)合即得++≥。即得一個(gè)新的不等式：若xi>,i=1,2,3，且，則++≥。所以，在證明一類(lèi)多元不等式時(shí)，我們經(jīng)常用到的一個(gè)辦法就是假設(shè)這些變?cè)暮蜑?。例4、若實(shí)數(shù)，證明：。提示：不妨設(shè)，則平衡點(diǎn)是。在的切線，有。5、若非負(fù)，且，證明：提示：平衡點(diǎn)是。在的切線，有練習(xí)1：已知函數(shù)，⑴求函數(shù)在定義域上的單調(diào)區(qū)間。⑵若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的范圍；⑶已知實(shí)數(shù)，，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值。（可以利用切線求的最大值）練習(xí)2：若非負(fù)，且，證明：提示：平衡點(diǎn)是。在的切線，有第4頁(yè)共4頁(yè)
5、切線放縮法實(shí)質(zhì)就是利用函數(shù)的圖像性質(zhì)解決一類(lèi)多元的問(wèn)題向一元函數(shù)求最值和類(lèi)型的不等式轉(zhuǎn)化。此時(shí)，可以選擇先求二階導(dǎo)看凹凸性，判斷這個(gè)函數(shù)是否能使用切線法，或者能夠被用得比較好。也可以直接選擇求一階導(dǎo)，把等號(hào)取道條件的切線值求出來(lái)，對(duì)應(yīng)不等式常數(shù)項(xiàng)配最后的常數(shù)系數(shù)。其本質(zhì)相當(dāng)于求這個(gè)一元函數(shù)在等號(hào)取到條件時(shí)（也就是文中的平衡點(diǎn)）的切線值，進(jìn)一步求對(duì)于這個(gè)一元函數(shù)相對(duì)應(yīng)的某個(gè)局部不等式。第4頁(yè)共4頁(yè)
