【ILMT】目標(biāo)意識(shí)為功,切線放縮為法.pdf

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1、目標(biāo)意識(shí)為功，切線放縮為法湖南邵陽(yáng)楊歆琪20180308在前面的文章中，筆者已經(jīng)提到了不等式的一種放縮技巧——切線放縮，即利用函數(shù)圖像與其切線的關(guān)系實(shí)現(xiàn)“以曲代直”，將任意形式的代數(shù)式放縮成一次式，下面給出幾則例子：x對(duì)于指數(shù)函數(shù)ye?，分別取x??0,1,1,ln2處的切線，可以得到如下不等式：xxx12xx1ex??1；e?ex；ex??；ex?2??ln2??2（由此輕松可得ex??2）.ee221對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)yx?ln，分別取x?1,,ee,處的切線，可以得到如下不等式：exxlnxx??1；lnx?；lnx??1；lnxex??2.2ee利用切線放縮，可以得到如此多的結(jié)果，那么

2、針對(duì)一個(gè)具體的問(wèn)題時(shí)，哪個(gè)（最多哪些）放縮是有效的呢？這就需要我們充分分析題目，明確放縮的目的和方向，有時(shí)還需要從精確度的角度來(lái)做出選擇（因?yàn)榍芯€放縮得到的不等式在切點(diǎn)附近較精確）.下面以一道試題為例，體會(huì)切線放縮所需要的目標(biāo)意識(shí).2?ab??【題】（2018南京師大附中調(diào)研）已知ab??1,2，則的最小值為_(kāi)________.22ab??14?筆者初拿此題，第一時(shí)間想到的是三角代換（因?yàn)橛蟹秶透剑┖蛶缀螛?gòu)造（因?yàn)橛懈胶推椒剑?，初步探索之后并沒(méi)有得到一個(gè)明朗的做法（當(dāng)然后面有其他老師做出來(lái)了），于是又轉(zhuǎn)而用切線放縮，筆者為什么會(huì)覺(jué)得切線放縮有可能成功呢？因?yàn)槲覀儗?duì)下述代數(shù)式的最值是

3、不陌生的：2?ab??y?.ab??1二次22這是一個(gè)典型的型，換元，令t???ab1，即可輕松求得最值.由此想到，如果能把分母ab??14?一次放縮成關(guān)于?ab??的一次式，不就迎刃而解了嗎？而這種放縮恰恰是切線放縮的功能所在.2m2通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，可知函數(shù)fa????a1在am?處的切線為y??am???m?1，所以2m?12m1aa??1?，當(dāng)且僅當(dāng)am?時(shí)取等號(hào).22mm??112n2函數(shù)gb????b4在bn?處的切線為y??bn???n?4，所以2n?42n4bb??4?，當(dāng)且僅當(dāng)bn?時(shí)取等號(hào).22nn??44從而有22mn14a??14b??a?b??（*）.2222m?1

4、n?4m?1n?4根據(jù)前面的分析，我們希望ab,的系數(shù)相等，一遍分母出現(xiàn)?ab??，所以我們令mn?，22mn??14解得nm?2.代入（*）時(shí)，得22m2a??14b???ab???.22mm??112令t???ab，所以m2?ab??22ab??14?2?ab???m2?ab???22mm??1122m?1?ab???m2ab??m2??2??t?2m?1??m?mt2m?1??44???t??2m??mtm422顯然，上式當(dāng)且僅當(dāng)t?，即t???ab?時(shí)取得最小值.將以上各步放縮的取等條件聯(lián)立，得2mtmm?am??bn????nm?2?22?ab?????mm解得mn??2,22

5、.到此，我們就找到了我們需要的切線放縮公式：2aa??12?1，當(dāng)且僅當(dāng)a?2時(shí)取等號(hào).2bb?4?2?2，當(dāng)且僅當(dāng)b?22時(shí)取等號(hào).分析過(guò)程已經(jīng)結(jié)束，在組織答案的過(guò)程中，還需對(duì)上述不等式進(jìn)行證明，參考過(guò)程如下所示：22解：易證當(dāng)ab??1,2時(shí)，aa??12?1，bb?4?2?2，事實(shí)上，有22222a??12a??1a??12a?22a??1a?22a???20?a?2??0，22222b??42b??2b??42b?42a??4b?42b???80?b?22??0，22所以aa??12?1，bb?4?2?2，取等條件為ab??2,22.2??3222??t??ab???ab??1?

6、ab??1??21??9故??????t??32?6，ab22??14??2ab?1???2?2?232tt2??2ab??233取等條件為t?a??b?，即ab??32.2222?ab???ab??即?6，且當(dāng)ab??2,22時(shí)可取等號(hào)，故的最小值為6.2222ab??14?ab??14?在本文的最后，筆者再給出例題的其他幾種做法，以供欣賞：22法二（江蘇李維維）令x?a?1,y?b?4，則22xy22+1+?4x2?y2??52x2?1y2?4?ab??????????ab22??14?x??yxy2222222222x?y??52xy?4x?y?4x?y??52xy?4xy?4??

7、x??yxy222x?y?29xy??x?y??96?x?y?????6x?yx?yx?y?xy??3?a2??11??a?2?取等條件為?，即?，解得?.?2xy???b2??42??b?222?ab??故當(dāng)且僅當(dāng)ab??2,22時(shí)，取得最小值6,ab22??14?法三（湖南謝倫駕）由柯西不等式易知AC?BD??ABC????D??ABCD,,,?0?，則22222?ab???ab???ab???ab??t?9?????6ab2?