具時(shí)滯綜合國(guó)力模型的Hopf分支分析

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1、2007年9月伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）Sept.2007第3期邢秀梅：具時(shí)滯綜合國(guó)力模型的Hopf分支分析1第3期JournalofYiliNormalUniversity（NaturalScienceEdition）No.3具時(shí)滯綜合國(guó)力模型的Hopf分支分析邢秀梅（伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆伊寧835000）摘要：以常微分方程知識(shí)為工具，建立數(shù)學(xué)模型，研究一個(gè)國(guó)家的綜合國(guó)力的總體情況，是近年來(lái)才開(kāi)始的一項(xiàng)研究工作.對(duì)此模型進(jìn)行了細(xì)致的分析，首先介紹引入時(shí)滯的原因，其次給出了存在局部Hopf分支的一組條件，進(jìn)一步給出了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，最后給出了模型一些結(jié)論的實(shí)際解釋.關(guān)鍵詞：綜合國(guó)力模

2、型；時(shí)滯；穩(wěn)定；指數(shù)多項(xiàng)式；分支中圖分類號(hào)：O29文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673—999X（2007）03—0001—041引言1997年，文獻(xiàn)[1]在不考慮時(shí)滯作用的前提下，用一個(gè)二次微分系統(tǒng)建立了一個(gè)描述綜合國(guó)力發(fā)展的動(dòng)力學(xué)模型.令XXt=()表示t時(shí)刻的硬國(guó)力函數(shù)，即某國(guó)的物質(zhì)文明（資源、經(jīng)濟(jì)、軍事、科技等）水平的一個(gè)綜合指標(biāo)，Xt()越大，物質(zhì)文明越繁榮.Xt()=X是正常數(shù)，表示Xt()的警戒線.Xt()M≤+X，00M+X表示Xt()的最大值.令yyt=()表示t時(shí)刻的軟國(guó)力函數(shù)，即某國(guó)的精神文明水平（內(nèi)政、外交政0策的失誤與正確等問(wèn)題）.當(dāng)yt()0<時(shí)，表示軟國(guó)力優(yōu)越（決策

3、英明、國(guó)民素質(zhì)高等）.這時(shí)，軟國(guó)力對(duì)社會(huì)的發(fā)展有促進(jìn)作用.令x()tXtX=?()，則?Xx≤≤()Mt，于是綜合國(guó)力的發(fā)展可用常微分方程組表00示為：?dMxx?=?αβxy()??dMt?（1.1）?dy=?γδym+（）?xx??dtdxM?xM?x物質(zhì)文明的發(fā)展速度與現(xiàn)有文明水準(zhǔn)x()t及發(fā)展?jié)摿Φ姆蓊~成正比，于是有αx這一dtMM項(xiàng)，α稱為增長(zhǎng)系數(shù).?βy表示社會(huì)丑惡現(xiàn)象對(duì)物質(zhì)文明發(fā)展的阻滯，β稱為丑惡系數(shù).?γy表示人民與αγ政府對(duì)丑惡現(xiàn)象的抵制與治理力度，它與現(xiàn)存丑惡現(xiàn)象的多寡成正比，γ稱為丑惡系數(shù).令a=，b=，ββδMmc=，μ=.文獻(xiàn)[1]關(guān)于（1.1）的主要結(jié)果如下：β

4、M1.ab≤時(shí)，方程（1.1）無(wú)閉軌.2.ab≤時(shí)，(0,0)是穩(wěn)定的，ab>時(shí)，(0,0)是不穩(wěn)定的.眾所周知，軟國(guó)力對(duì)硬國(guó)力的作用或影響是有時(shí)滯作用的.即軟國(guó)力的某些變化需在一定的時(shí)間內(nèi)才收稿日期：2007—03—10作者簡(jiǎn)介：邢秀梅，女，碩士，伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)系講師.2伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2007年能在硬國(guó)力上顯現(xiàn)出來(lái).這樣有必要考慮下面的時(shí)滯綜合國(guó)力模型：?dMxx?=αβxy（）-(t-r)??dMt?（1.2）?dy=?γδym+（-）xx??dt其中r>0表示時(shí)滯，其余符號(hào)與(1.1)相同，本文主要研究系統(tǒng)(1.2)的局部動(dòng)力學(xué)行為.2Hopf分支的存在性x()tyt

5、()αγδMm在系統(tǒng)（1.2）中令ut()=，vt()=，a=，b=，c=，μ=，τ=βt，則(1.2)變成MMβββM?du=???au(1u)v(τr)??dτ?（2.1）?dv=?+bvc()μ?uu??dτ?du=???au(1u)vt(r)??dt仍把τ寫(xiě)成t得：?（2.2）?dv=?bvt()+c(μ?utut())()??dt2()αγ+下面總假定

6、cabc次近似系統(tǒng)分別為：?du=??aut()vt(r)??dt?（2.3）?dv=?bvt()+cutμ()??dt?duab?cμ=?aut()(12)?vt(?r)??dtab?c?（2.4）?dva=?bvt()+c(μ?2b?cμ)()ut??dtab?c方程組(2.3),(2.4)的特征方程分別為：2?λrλλμ+??+()baabce=0(2.5)2abc??μabcμμabc??λrλλμ+??[(ba12)](??ab12)(2+?c)0e=(2.6)abc??abcabc?通過(guò)分析特征方程(2.5)，可得下述引理和定理：+引理2.1當(dāng)r取某些r時(shí)，方程(2.5)有一對(duì)純

7、虛根λ=±iω，其中j+2112222222+1?+abω+ωμ=?()()ab++ab??4c，rj=+arccos2π，j=0,1,?+j22ωμc++drRe(λ)j引理2.2方程(2.5)的特征根滿足>0.dr第3期邢秀梅：具時(shí)滯綜合國(guó)力模型的Hopf分支分析3由上述兩引理可得出：+定理2.1當(dāng)r=r時(shí)，從平衡點(diǎn)E可產(chǎn)生分支.j1通過(guò)分析特征方程(2.6)，可得下述引理和定理：222+引理2.3當(dāng)ab