芝諾悖論的又一現(xiàn)代翻版_調(diào)和級數(shù)悖論

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1、第24卷第6期喀什師范學(xué)院學(xué)報Vol.24No.62003年11月JournalofKashgarTeachersCollegeNov.2003芝諾悖論的又一現(xiàn)代翻版X——調(diào)和級數(shù)悖論歐陽耿(漳州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建漳州363000)摘要:通過發(fā)現(xiàn)芝諾悖論的又一個翻版——調(diào)和級數(shù)悖論,再一次證明,在傳統(tǒng)的有窮-無窮理論體系中,人們永遠不可能解決芝諾通過悖論要求人們解決的問題,并且永遠無法制止新的芝諾悖論翻版的產(chǎn)生.關(guān)鍵詞:芝諾悖論;數(shù)學(xué)危機;傳統(tǒng)有窮-無窮理論體系;無窮小中圖分類號:O11文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1006-432×(

2、2003)06-0017-04中國古代哲學(xué)家稱悖論“飾人之心,易人之意,能勝人之口,不能服人之心”.科學(xué)家們通過悖論來提出問題.悖論是科學(xué)研究中基礎(chǔ)理論缺陷的產(chǎn)物,是對科學(xué)理論體系的挑戰(zhàn),是對人類智力的挑戰(zhàn).研究悖論能使我們了解學(xué)科基礎(chǔ)理論的缺陷,而解決悖論的最大意義是能幫助我們解決學(xué)科基礎(chǔ)理論的缺陷——修改或重建某些基礎(chǔ)理論,從而使科學(xué)研究朝著健康的方向發(fā)展.這是一種客觀的需要.約公元前465年,埃利亞的芝諾著述了幾個與無窮概念相關(guān)的悖論,導(dǎo)致了科學(xué)界的理論危機[1].2500多年來,許許多多哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家努力奮斗,力圖解決芝諾那

3、些與無窮概念相關(guān)的問題.但由于傳統(tǒng)的有窮-無窮理論體系幾千年來沒有什么實質(zhì)性的完善[2],使芝諾悖論不僅不可能得到解決,反而還不時以不同的翻版出現(xiàn)在數(shù)學(xué)中,固執(zhí)地向與無窮概念相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容發(fā)出一次次挑戰(zhàn),并且目標(biāo)非常清楚——直搗整座數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。人們到目前為止的所有努力都只能以失敗告終——時間在芝諾悖論面前凝固了!貝特蘭·羅素清楚的看到了這一點,他在談及芝諾悖論時寫道:“經(jīng)過謹慎的解釋,似有可能再現(xiàn)芝諾的所謂‘悖論’,它們從提出之日起直到現(xiàn)在一直被人們所‘駁斥’.”芝諾悖論不斷以新的形式出現(xiàn)在科學(xué)中,形成一個龐大的“芝諾悖論家族”

4、:第二次數(shù)學(xué)危機是芝諾悖論[3～5]在300多年前的一種翻版所引起的,而我們今天發(fā)現(xiàn)的調(diào)和級數(shù)悖論則是芝諾悖論的又一個很巧妙的翻版.1芝諾所著述的與無窮概念相關(guān)的悖論芝諾悖論的原作沒有流傳下來,但亞里士多德在其著作中對此作了記錄.我們將與調(diào)和級數(shù)悖論相關(guān)的[1]兩個悖論摘引如下:a.運動是不存在的.在跑完某一段距離的全程之前,競賽者首先必須跑完這段距離的一半;在跑完全程的一半之前,又必須跑完一半的一半,即全程的四分之一;在跑完全程的四分之一之前,又得跑完全程的八分X收稿日期:2003-06-20作者簡介:歐陽耿(1957-),男,福

5、建省漳州市人,漳州師范學(xué)院副教授,從事數(shù)學(xué)悖論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論研究.·18·喀什師范學(xué)院學(xué)報第24卷之一;??如此遞推,以至無窮,故運動不可能.b.阿基里斯追不上烏龜.阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄.在他和烏龜?shù)母傎愔?烏龜在前面跑,他在后面追,但他不可能追上烏龜.因為在競賽中,追者首先必須到達被追者的出發(fā)點,當(dāng)阿基里斯到達烏龜在某時所處的位置時,烏龜已向前移動一些;阿基里斯再到達烏龜?shù)哪莻€位置時,烏龜又往前跑了一段;??因此,無論阿基里斯到達烏龜曾處的哪個位置,烏龜都會在他前面.所以,無論阿基里斯跑得多快,他永遠追不上烏龜.芝諾這

6、些悖論顯然都與人們的生活經(jīng)驗、共識相悖.但問題是2500年來人們一直無法真正認識無窮概念的本質(zhì),無法真正認識與之相關(guān)的數(shù)量形式,必然無法回答芝諾通過悖論要人們所回答的問題.據(jù)說,芝諾的一個學(xué)生曾抓來一只烏龜,讓它在距自己10步以外向前爬行,然后從后面追上烏龜,演示給芝諾看,想以此來證明阿基里斯完全可以追上烏龜.另一個叫爻布納·希莫尼的學(xué)者編了一個既生動有趣、又中肯貼切的對話來評述芝諾悖論的荒謬:當(dāng)一只饑餓兇猛的獅子從籠子里被放出來去追趕芝諾時,芝諾不慌不忙地一邊慢跑一邊告訴人家,這只獅子永遠不可能跑到他身邊.因為獅子首先必須到達他的

7、出發(fā)點,當(dāng)獅子到達他在某時所處的位置時,他已向前移動一些;獅子再到達他的那個位置時,他又往前跑了一段;??因此,無論獅子到達他曾處的哪個位置,他都會在獅子前面.所以,無論獅子跑得多快,都永遠追不上他.從另一個角度說,獅子在接近他時必須跑完全程的一半,在跑完全程的一半前又必須跑完全程的四分之一,在跑完全程的四分之一前又必須跑完全程的八分之一,如此類推,以至無窮,獅子連一步都跨不出.但在他剛說完獅子無論如何永遠沒辦法追上他的話音落下后不久,芝諾被這飛跑而至的獅子吞吃掉了.有的人認為象這樣對芝諾悖論的解答是最生動、準(zhǔn)確不過了.其實在數(shù)學(xué)上

8、僅用現(xiàn)在初中生都懂的加和數(shù)列就可以輕而易舉地告訴人們阿基里斯何時可追上烏龜.史料也表明芝諾當(dāng)時未必不懂得這些簡單的常識.但這類解答僅描述了事件的現(xiàn)象和結(jié)果,而芝諾要人們解答的是事件的可能性問題,要人們在理論上認識、解釋與無窮概念相關(guān)的