完全平方數(shù)下

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1、4中等數(shù)學(xué)●數(shù)學(xué)活動課程講座●完全平方數(shù)(下)馮躍峰(廣東省深圳市高級中學(xué),518040)(本講適合初中)綜上所述,nmax=972.例10證明:任意連續(xù)5個(gè)正整數(shù)的積4利用完全平方數(shù)序列的間距特征不是完全平方數(shù).完全平方數(shù)序列的間距具有如下特征:證明:設(shè)5個(gè)連續(xù)正整數(shù)為a-2、a-1、22≥(1)m-n3(02).則22(2)m與(m+1)之間不存在完全平方N=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)222242數(shù),即:若m

2、7500n例9求最大的正整數(shù)n,使4+4+4個(gè)奇質(zhì)因數(shù)p,如果p

3、(a-2),則是完全平方數(shù).p

4、[a-(a-2)]=2,解:當(dāng)n>27時(shí),與p是奇質(zhì)數(shù)矛盾.27500n27473n-27A=4+4+4=4(1+4+4).于是,p不整除a-2.27因?yàn)?是完全平方數(shù),要使A為完全平同理,p不整除a+2.473n-27方數(shù),則1+4+4是完全平方數(shù).類似地,p不整除a±1.42注意到因此,p與a-5a+4互質(zhì).473n-272×473n-2721+4+4=1+2+(2)因?yàn)閜是完全平方數(shù)N的因數(shù),p在N2×473-1n-272=1+2×2+(2),中的指數(shù)為偶數(shù),所以,p在a中的指數(shù)為故當(dāng)n-2

5、7=2×473-1,即n=972時(shí),偶數(shù).473n-271+4+4這表明,除2以外,a的質(zhì)因數(shù)p在a中2×473-12×473-1222=1+2×2+(2)的指數(shù)都為偶數(shù),故a=2m或a=m.2×473-122=(1+2)如果a=m,則a為完全平方數(shù).42是平方數(shù).此時(shí),A是完全平方數(shù).又N=a(a-5a+4)為完全平方數(shù),42從而,n=972符合條件.則a-5a+4為完全平方數(shù).這與224222若n>972,則2×473-1

6、)a(a+1)(a+2)n-27n-272n-272222<1+2×2+(2)=(1+2).=(2m-2)(2m-1)2m·473n-2722又1+4+4(2m+1)(2m+2)2×473-1n-272n-272222=1+2×2+(2)>(2),=(2m)2(m-1)(m+1)·n-272473n-27n-27222則(2)<1+4+4<(1+2).(2m-1)(2m+1).473n-272故1+4+4不是完全平方數(shù),矛盾.因?yàn)镹、(2m)都是完全平方數(shù),所以,2222因此,n≤972.N′=2(m-1)(m+1)(2m-1)(2m+1)是完全平方數(shù).從而,收稿日期:2008-05-3020

7、08年第11期52222(m-1)(m+1)(2m-1)(2m+1)完全平方數(shù).n為偶數(shù).10-1證明:因?yàn)?1?1=,而229但(2m-1)(2m+1)是奇數(shù),所以,n個(gè)22(m-1)(m+1)是偶數(shù).從而,m是奇數(shù),即12345678987654321m≡1(mod2).是下列各數(shù)的和:11111111111111111如果m≡0(mod3),則22221111111111111110N′=2(m-1)(m+1)(2m-1)(2m+1)111111111111100≡2×(-1)×1×(-1)×1≡2(mod3),11111111111000與N′是完全平方數(shù)矛盾.111111111000

8、0所以,m≡1,2(mod3).111111100000由m≡1(mod2),得m≡1,3,5(mod6).11111000000由m≡1,2(mod3),得m≡1,2,4,5(mod6).1110000000所以,m≡1,5(mod6).100000000令m=6t±1.則所以,12345678987654321m2=36t2±12t+1=12k+1.17151310-110-1210-12222=+10×+10×+故N′=2(m-1)(m+1)(2m-1)(2m+1)9991=2×12k(12k+2)(24k+1)(24k+3)810-1?+10×9=144k(6k+1)(24k+1)(8

9、k+1).所以,k(6k+1)(24k+1)(8k+1)為完=1[(1017-1)+(1016-10)+(1015-102)+9全平方數(shù).98?+(10-10)]但k、6k+1、24k+1、8k+1兩兩互質(zhì),11716159因此,k、6k+1、24k+1、8k+1都是完全平=[(10+10+10+?+10)-9方數(shù).28(1+10+10+?+10)]因?yàn)?k+1、24k+1是完全平方數(shù),19876