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《2020版高中數學第二章數列2.2.1等差數列（第2課時）等差數列的性質學案新人教b版》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第2課時 等差數列的性質學習目標 1.能根據等差數列的定義推出等差數列的常用性質.2.能運用等差數列的性質簡化計算．知識點一 等差數列通項公式的變形及推廣①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，③d＝(m，n∈N＋，且m≠n)．其中①的幾何意義是點(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來利用任一項及公差直接得到通項公式，不必求a1.③即斜率公式k＝，可用來由等差數列任兩項求公差．知識點二 等差數列的性質在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則a
2、m＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.知識點三 由等差數列衍生的新數列若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數列，則有數列結論{c＋an}公差為d的等差數列(c為任一常數){c·an}公差為cd的等差數列(c為任一常數){an＋an＋k}公差為2d的等差數列(k為常數，k∈N＋){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數列(p，q為常數)1．若數列{an}的通項公式an＝kn＋b，則{an}是公差為k的等差數列．( √ )2．等差數列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( × )3．若數列
3、a1，a2，a3，a4，…是等差數列，則數列a1，a3，a5，…也是等差數列．( √ )4．若數列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差為d的等差數列，則a1，a2，a3…是等差數列．( × )題型一 an＝am＋(n－m)d的應用例1 在等差數列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求數列的公差及通項公式．解 因為a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因為an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.反思感悟 靈活利用等差數列的性質，可以減少運算．令m＝1，an＝a
4、m＋(n－m)d即變?yōu)閍n＝a1＋(n－1)d，可以減少記憶負擔．跟蹤訓練1 {bn}為等差數列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________.答案 8解析 方法一 ∵{bn}為等差數列，∴可設其公差為d，則d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.方法二 由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.題型二 等差數列性質的應用例2 已知等差數列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數列的通項公式．解 方法一 因為a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝1
5、5，所以a4＝5.又因為a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.方法二 設等差數列的公差為d，則由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，將①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9
6、，②聯(lián)立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋.引申探究1．在例2中，不難驗證a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差數列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？解 設公差為d，則am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d，∴am＋a
7、n＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.2．在等差數列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.答案 20解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.反思感悟 解決等差數列運算問題的一般方法：一是靈活運用等差數列{an}的性質；二是利用通項公式，轉化為等差數
8、列的首項與公差的求解，屬于通用方法；或者兼而有之．這些方法都運用了整體代換與方程的思想．跟蹤訓練2 在等差數列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
