2012屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--40橢圓

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1、第四十講橢圓回歸課本1.橢圓的定義(1)定義:平面內(nèi)兩定點為F1?F2,當(dāng)動點P滿足條件點P到點F1?F2的距離之和等于常數(shù)(大于

2、F1F2

3、)時,P點的軌跡為橢圓;F1?F2是橢圓的兩個焦點.(2)定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

4、PF1

5、+

6、PF2

7、=2a(2a>

8、F1F2

9、).(3)注意:定義中,“定值大于

10、F1F2

11、”(即2a>2c)是必要條件.當(dāng)2a=2c時,動點軌跡是兩焦點的連線段;而當(dāng)2a<2c時,動點軌跡不存在.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)考點陪練1.已知兩定點A(-1,0),B(1,0),點M滿足

12、MA

13、+

14、MB

15、=2,則點M的軌跡是()A.圓B.橢圓C.線段

16、D.直線答案:C答案:D答案:A答案:C類型一橢圓的定義解題準(zhǔn)備:(1)橢圓是圓錐曲線中最重要的內(nèi)容之一,因而也是高考命題的熱點.而橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程往往是主要的考查點,也是研究其它橢圓問題的基礎(chǔ).(2)橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和為常數(shù)(大于

17、F1F2

18、)的動點的軌跡(或集合)叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.用集合表示:橢圓上的點M滿足集合均為常數(shù)且2a>2c.(3)涉及橢圓定義的問題時,一定要注意“2a>2c”這一個前提條件.因為當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1?F2的距離之和等于

19、F1F2

20、時,其動點軌跡就是線段

21、F1F2;當(dāng)平面內(nèi)的動點與定點F1?F2的距離之和小于

22、F1F2

23、時,其軌跡不存在.【典例1】一動圓與已知圓O1:(x+3)2+y2=1外切,與圓O2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求動圓圓心的軌跡方程.[解]兩定圓的圓心和半徑分別是O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9.設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為R,則由題設(shè)條件,可知

24、MO1

25、=1+R,

26、MO2

27、=9-R,∴

28、MO1

29、+

30、MO2

31、=10,由橢圓的定義知:M在以O(shè)1?O2為焦點的橢圓上,且a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16,故動圓圓心的軌跡方程為[反思感悟]先根據(jù)定義判斷軌跡的類

32、型,再用待定系數(shù)法求軌跡方程的方法叫定義法.用定義法求軌跡方程時,應(yīng)首先充分挖掘圖形的幾何性質(zhì),找出動點滿足的幾何條件,看其是否符合某種曲線的定義,如本例,根據(jù)平面幾何知識,列出內(nèi)切?外切的條件后,可發(fā)現(xiàn)利用動圓的半徑過渡,恰好符合橢圓的定義,從而用待定系數(shù)法求解,這里充分利用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.類型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解題準(zhǔn)備:(1)定義法;(2)待定系數(shù)法.若已知焦點的位置可唯一確定標(biāo)準(zhǔn)方程;若焦點位置不確定,可采用分類討論來確定方程的形式,也可以直接設(shè)橢圓的方程為Ax2+By2=1,其中A,B為不相等的正常數(shù)或由已知條件設(shè)橢圓系來求解,以避免討論和繁瑣的計算

33、.類型三橢圓的幾何性質(zhì)解題準(zhǔn)備:1.對橢圓幾何性質(zhì)的考查一直是高考命題的一個熱點,尤其是對橢圓離心率的求解問題,更是考查的重點.2.對于焦點在x軸上,中心在原點的橢圓有以下性質(zhì):①范圍:-a≤x≤a,-b≤y≤b.橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形框里;②對稱性:橢圓關(guān)于x軸?y軸和原點都是對稱的;③橢圓有四個頂點A1(-a,0)?A2(a,0)?B1(0,-b)?B2(0,b).線段A1A2和B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長分別等于2a和2b;④橢圓的離心率[反思感悟]求解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,即使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到

34、圖形.當(dāng)涉及到頂點?焦點?長軸?短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,建立基本量之間的聯(lián)系.類型四直線與橢圓的位置關(guān)系解題準(zhǔn)備:1.直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程,然后通過判別式Δ來判斷直線和橢圓相交?相切或相離.2.消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式,這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ).【典例4】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A?B兩點(A?B不是左右頂點),且以AB為

35、直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).[分析](1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立后得到交點A?B的坐標(biāo)關(guān)系,再根據(jù)以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點可得到兩直線垂直,從而求得交點A?B的坐標(biāo)關(guān)系,聯(lián)立后可求k、m的關(guān)系.[反思感悟](1)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程,然后通過判別式Δ來判斷直線和橢圓相交?相切或相離的情況.(2)消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式,這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ).錯源一定義理解不清致錯【典例1】已知A