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1、高等數(shù)學研究Vol10,No4106STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJul.,2007教學參考*常微分方程的通解錢明忠陳友朋(鹽城師范學院數(shù)學科學學院江蘇鹽城224002)摘要給出常微分方程通解的定義,研究常微分方程的通解和所有解之間的關(guān)系,給出通解包含所有解的若干充分性條件.關(guān)鍵詞通解;常數(shù)獨立;所有解中圖分類號O175.1常微分方程的通解和所有解是兩個不同的概念,但不少教材未將這兩個概念說清楚,甚至于將兩者混淆起來,例如文獻[1][2]等,給學生
2、理解和求解常微分方程帶來了困難.事實上,有些方程2dy1-y的通解就不包含所有解.例如方程=的通解為arcsiny=arcsinx+C,其中C為任意常dx1-x2dyyy2數(shù),而y=1也是該方程的解,它不包含在通解之中;又如y=0是方程=-()的一個解,dxxxx它不包含在該方程的通解y=(C為任意常數(shù))之中.ln
3、x
4、+C本文將給出常微分方程通解的定義,同時研究常微分方程的通解和所有解之間的關(guān)系,然后給出通解包含所有解的若干充分性條件,證明過程突出通解定義中的常數(shù)獨立條件的驗證這一關(guān)鍵,為進一步區(qū)分通解和所有解帶來了方便.考慮如下一般的n階常
5、微分方程ndydyF(x,y,,!,n)=0.(1)dxdx定義若函數(shù)y=(x,c1,c2,!,cn)是方程(1)的解,且其中的任意常數(shù)c1,c2,!,cn獨立,(n-1)即,,?,!,關(guān)于c1,c2,!,cn的雅可比(Jacobi)行列式(n-1)D(,?,!,)#0,D(c1,c2,!,cn))(k)其中(k=1,2,!,n-1)表示對x的k階導數(shù).則稱y=(x,c1,c2,!,cn)為常微分方程(1)的通解.如果關(guān)系式(x,y,c1,c2,!,cn)=0所確定的隱函數(shù)y=(x,c1,c2,!,cn)為方程(1)的通
6、解,則稱關(guān)系式(x,y,c1,c2,!,cn)=0為方程(1)的隱式通解,也簡稱為方程(1)的通解.對于一般的常微分方程,其通解不一定包含所有解而僅僅是所有解的一部分.但在一些特殊情形下,方程的通解包含它的所有解.例如,n階線性微分方程nn-1dydydyn+a1(x)n-1+!+an-1(x)+an(x)y=f(x),(2)dxdxdx其中ai(x)(i=1,2,!,n)及f(x)為區(qū)間[a,b]上的已知連續(xù)函數(shù),則有如下結(jié)論:定理1設(shè)y1(x),y2(x),!,yn(x)為方程(2)所對應(yīng)的齊次線性方程nn-1dydydyn+a1(x)n
7、-1+!+an-1(x)+an(x)y=0dxdxdx*收稿日期:2006-02-08;修改稿:2007-05-25.第10卷第4期錢明忠,陳友朋:常微分方程的通解107的基本解組,y(x)為方程(2)的一個特解,則方程(2)的通解為y=c1y1(x)+c2y2(x)+!+cnyn(x)+y(x),(3)其中c1,c2,!,cn為任意常數(shù),且通解(3)包含了方程(2)的所有解.證明由線性方程解的疊加原理知,(3)式是方程(2)的解,又雅可比行列式y(tǒng)1(x)y2(x)!yn(x)D(y,y?,!,y(n-1))y1?(x)y
8、2?(x)!yn?(x)==D(c1,c2,!,cn)(n-1)(n-1)(n-1)y1(x)y2(x)!yn(x)W[y1(x),y2(x),!,yn(x)]#0,x?[a,b].所以(3)式中的任意常數(shù)c1,c2,!,cn相互獨立,從而(3)式為方程(2)的通解.關(guān)于(3)式包含方程(2)的所有解的結(jié)論,可以利用線性微分方程初值問題解的存在唯一性定理進行證明,可參見文獻[3],這里從略.如果微分方程為一階方程,且可以寫成如下對稱形式M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.(4)其中M(x,y),N(x,y)在(4)無奇點的單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)
9、可微.所謂無奇點是指在D中22M(x,y)dx+N(x,y)dy#0.定理2如果方程(4)為全微分方程,即存在二元連續(xù)可微函數(shù)u(x,y)使M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y),則此時方程(4)的通解為u(x,y)=C,其中C為任意常數(shù),且通解包含了方程(4)的所有解.u證明不妨設(shè)N(x,y)#0即#0,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,關(guān)系式u(x,y)=C可唯一確定y一個隱函數(shù)y=(x,C),則有u[x,(x,C)]%0,兩邊關(guān)于x求微分得du[x,(x,C)]%0.即M[x,(x,c)]dx+N[x,(x,c)]d(x,c)
10、%0.這表明y=(x,C)為全微分方程(4)的解,又由隱函數(shù)的可微性定理.11==#0,CuN(x,y)y所以y=(x,C)中的任
