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《數(shù)列經(jīng)典題目集錦--答案》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、數(shù)列經(jīng)典題目集錦一一、構(gòu)造法證明等差、等比類型一：按已有目標(biāo)構(gòu)造1、數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足：bn＝an－2an＋1，cn＝an＋1＋2an＋2－2，n∈N*.(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列{bn}，{cn}都是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列；(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，試判斷當(dāng)b1＋a3＝0時(shí)，數(shù)列{an}是否成等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．類型二：整體構(gòu)造2、設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，且(Sn＋1＋λ)an＝(
2、Sn＋1)an＋1對(duì)一切n∈N*都成立．(1)若λ＝1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求λ的值，使數(shù)列{an}是等差數(shù)列．二、兩次作差法證明等差數(shù)列3、設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，（其中A,B為常數(shù)）．(1)求A與B的值；(2)求數(shù)列為通項(xiàng)公式；三、數(shù)列的單調(diào)性4.已知常數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足：，（）．（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5.設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)于正整數(shù)（），求證：“且”是“這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排
3、序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；（3）設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有，且集合中有且僅有3個(gè)元素，求的取值范圍.8四、隔項(xiàng)（分段）數(shù)列問(wèn)題6.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1)是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{a2n－λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求滿足Sn＞0的所有正整數(shù)n.7.若滿足：對(duì)于，都有(為常數(shù))，則稱數(shù)列是公差為的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列．（Ⅰ）若，是公差為8的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，求的前項(xiàng)之和；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有．①求證：數(shù)列為“
4、隔項(xiàng)等差”數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．五、數(shù)陣問(wèn)題8.已知等差數(shù)列{an}、等比數(shù)列{bn}滿足a1＋a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2＋b1，a1＋b2成等差數(shù)列，a1，a2，b2成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)按如下方法從數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}中取項(xiàng)：第1次從數(shù)列{an}中取a1，第2次從數(shù)列{bn}中取b1，b2，第3次從數(shù)列{an}中取a2，a3，a4，第4次從數(shù)列{bn}
5、中取b3，b4，b5，b6，……第2n－1次從數(shù)列{an}中繼續(xù)依次取2n－1個(gè)項(xiàng)，第2n次從數(shù)列{bn}中繼續(xù)依次取2n個(gè)項(xiàng)，……由此構(gòu)造數(shù)列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.求滿足Sn<22014的最大正整數(shù)n.8數(shù)列經(jīng)典題目集錦答案1.證明：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵bn＝an－2an＋1，∴bn＋1－bn＝(an＋1－2an＋2)－(an－2an＋1)＝(an＋
6、1－an)－2(an＋2－an＋1)＝d－2d＝－d，∴數(shù)列{bn}是公差為－d的等差數(shù)列．(4分)(2)當(dāng)n≥2時(shí)，cn－1＝an＋2an＋1－2，∵bn＝an－2an＋1，∴an＝＋1，∴an＋1＝＋1，∴an＋1－an＝－＝＋.∵數(shù)列{bn}，{cn}都是等差數(shù)列，∴＋為常數(shù)，∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列．(10分)(3)結(jié)論：數(shù)列{an}成等差數(shù)列．證明如下：(證法1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d′，∵bn＝an－2an＋1，∴2nbn＝2nan－2n＋1an＋1，∴2n－1bn－1＝2n－1an－1－2na
7、n，…，2b1＝2a1－22a2，∴2nbn＋2n－1bn－1＋…＋2b1＝2a1－2n＋1an＋1，設(shè)Tn＝2b1＋22b2＋…＋2n－1bn－1＋2nbn，∴2Tn＝22b1＋…＋2nbn－1＋2n＋1bn，兩式相減得：－Tn＝2b1＋(22＋…＋2n－1＋2n)d′－2n＋1bn，即Tn＝－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn，∴－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn＝2a1－2n＋1an＋1，∴2n＋1an＋1＝2a1＋2b1＋4(2n－1－1)d′－2n＋1bn＝2a1＋2b1－4d′－2n＋
8、1(bn－d′)，∴an＋1＝－(bn－d′)．(12分)令n＝2，得a3＝－(b2－d′)＝－b1，∵b1＋a3＝0，∴＝b1＋a3＝0，∴2a1＋2b1－4d′＝0，∴an＋1＝－(bn－d′)，∴an＋2－an＋1＝－(bn＋1－d′)＋(bn－d′)＝－d′，∴數(shù)列{an}(n≥2)是公差為－d′的等差數(shù)列．(14分)∵b
