數(shù)列經(jīng)典題目匯總

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1、14.(全國卷II)已知是各項為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，、、成等差數(shù)列．又，．(Ⅰ)證明為等比數(shù)列；(Ⅱ)如果無窮等比數(shù)列各項的和，求數(shù)列的首項和公差．(注：無窮數(shù)列各項的和即當時數(shù)列前項和的極限)解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，由得即，得因當=0時，{an}為正的常數(shù)列就有當=時，,就有于是數(shù)列{}是公比為1或的等比數(shù)列（Ⅱ）如果無窮等比數(shù)列的公比=1，則當→∞時其前項和的極限不存在。因而=≠0，這時公比=，這樣的前項和為則S=由，得公差=3，首項==315.(全國卷III)在等差數(shù)列中，公差的等差中項.已知數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項解：由題意得：

2、……………1分即…………3分又…………4分又成等比數(shù)列,∴該數(shù)列的公比為，………6分所以………8分又……………………………………10分所以數(shù)列的通項為……………………………12分16.（山東卷）已知數(shù)列的首項前項和為，且（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）令，求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)并比較與的大小.解：由已知可得兩式相減得即從而當時所以又所以從而故總有，又從而即數(shù)列是等比數(shù)列；（II）由（I）知因為所以從而==-=由上-==12①當時，①式=0所以；當時，①式=-12所以當時，又所以即①從而18.（天津卷）已知.（Ⅰ）當時，求數(shù)列的前n項和；（Ⅱ）求.（18）解：（Ⅰ）

3、當時，．這時數(shù)列的前項和．　　　①①式兩邊同乘以，得　　　?、凇、偈綔p去②式，得　　若，，若，（Ⅱ）由（Ⅰ），當時，，則．當時，此時，．若，．若，．19.（天津卷）若公比為c的等比數(shù)列｛｝的首項＝1且滿足：（＝3，4，…）。（I）求c的值。（II）求數(shù)列｛｝的前項和。20.（浙江卷）已知實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a＋1，了＋1，c＋4成等比數(shù)列，求a，b，c．解：由題意，得由(1)(2)兩式，解得將代入(3),整理得解得或故,或經(jīng)驗算，上述兩組數(shù)符合題意。21（浙江卷）設(shè)點(，0)，和拋物線：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法

4、得到：x1＝1，點P2(x2，2)在拋物線C1：y＝x2＋a1x＋b1上，點A1(x1，0)到P2的距離是A1到C1上點的最短距離，…，點在拋物線：y＝x2＋anx＋bn上，點(，0)到的距離是到上點的最短距離．(Ⅰ)求x2及C1的方程．(Ⅱ)證明{}是等差數(shù)列．解：（I）由題意，得。設(shè)點是上任意一點，則令則由題意，得即又在上，解得故方程為(II)設(shè)點是上任意一點，則令，則.由題意得g，即又即（*）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①當n=1時，等式成立。②假設(shè)當n=k時，等式成立，即則當時，由（*）知又即當時，等式成立。由①②知，等式對成立。是等差數(shù)列。22.(重慶卷)數(shù)列

5、{an}滿足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0(n31)。記(n31)。(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求數(shù)列{bn}的通項公式及數(shù)列{anbn}的前n項和Sn。解法一：（I）（II）因，故猜想因，（否則將代入遞推公式會導(dǎo)致矛盾）?！吖实牡缺葦?shù)列.,解法二：（Ⅰ）由整理得（Ⅱ）由所以故由得故解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）從而故23.(重慶卷)數(shù)列{an}滿足.（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（Ⅱ）已知不等式，其中無理數(shù)e=2.71828….（Ⅰ）證明：（1）當n=2時，，不等式成立.（2）假設(shè)當時不等式成立，即那么.這就是說，當時不等式成立.根

6、據(jù)（1）、（2）可知：成立.（Ⅱ）由遞推公式及（Ⅰ）的結(jié)論有兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得故上式從1到求和可得即24.（江西卷）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項公式.解：方法一：先考慮偶數(shù)項有：………同理考慮奇數(shù)項有：………綜合可得方法二：因為兩邊同乘以，可得：令所以………又∴∴25.（江西卷）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項公式an.解：（1）方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當n=1時，∴，命題正確.2°假設(shè)n=k時有則而又∴時命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當n=1時，∴；2°假設(shè)

7、n=k時有成立，令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當n=k+1時成立，所以對一切（2）下面來求數(shù)列的通項：所以,又bn=－1，所以