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《函數(shù)概念的發(fā)展史》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、函數(shù)概念的起源,最早和人們對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡的研究密不可分。再也沒有其他的例子,如同象動(dòng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),它的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)相互依依賴并同時(shí)發(fā)生變化那樣，更有利于促使人們產(chǎn)全變量、因變量—產(chǎn)生函數(shù)的概念了.而這又正是解析幾何學(xué)的主耍內(nèi)容.14世紀(jì)時(shí),法國數(shù)學(xué)家奧萊斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依時(shí)間t而變的變數(shù)x時(shí),他畫出了圖形,把t稱為“經(jīng)度(longitude),把x稱為“緯度”(latitude)。但是他并沒有連續(xù)的概念,只是建立了孤立的點(diǎn)與點(diǎn)之簡的對(duì)應(yīng).這種方法被開普勒(Kepler,德,1571
2、-1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564-1642)應(yīng)用于關(guān)于天體運(yùn)行方面的研究〔2〕。17世紀(jì)的絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的,而曲線被看作運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)的路徑這樣的思想通過牛頓等人的工作而獲得了認(rèn)可與接受。牛頓在他的《求曲邊形的面積》中說:“我認(rèn)為這里的數(shù)學(xué)量,不是由小塊合成的,而是由連續(xù)運(yùn)動(dòng)描出的”。英國數(shù)學(xué)家哈略特(Harriot,1560一1621)應(yīng)用了直角坐標(biāo)的概念求出了曲線的方程.當(dāng)坐標(biāo)系一經(jīng)給定,則某些幾何問題便可以用代數(shù)的形式表現(xiàn)出，這正是解析幾何學(xué)的主耍方法.這樣,函數(shù)的概念便
3、又和軌跡的代數(shù)表達(dá)式發(fā)生了密切聯(lián)系.法國著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪(Fermat,1601-1665)在他的《平面、立體曲線導(dǎo)論》中,取相交的直線建立坐標(biāo)系,導(dǎo)出了直線、圓還有其它一些圓錐曲線的方程。法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾(Descartes,1596-1650)在他的《幾何學(xué)》中明確地給出了點(diǎn)的坐標(biāo)概念,由此當(dāng)點(diǎn)P根據(jù)某特定條件運(yùn)動(dòng)時(shí),它的兩個(gè)坐標(biāo)之間的互變關(guān)系可用曲線的方程表示。人們通常把變量概念的引入和解析幾何的誕生歸功與笛卡爾,他確實(shí)讓用代數(shù)關(guān)系式表示變化的量間的關(guān)系(主要是曲線)的方法逐漸流行起來了〔2〕?？偟?/p>
4、說來,盡管描繪曲線方程的解析幾何的方法已出現(xiàn),但至少到17世紀(jì)上半葉,純粹的函數(shù)概念并沒有被提出來。萊布尼茲(Lei-bniz)在1673年首先提出“函數(shù)”這一名詞.他用函數(shù)表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)的量.象曲線上的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),切線的長度,垂線的長度等。牛頓(Newton)幾乎同時(shí)用另一名詞“流量”來表示變量間關(guān)系。1697年,約翰·伯努利給出了函數(shù)的第一個(gè)定義:一個(gè)按照任何方式用變量和常量構(gòu)成的量.1698年,他采用了萊布尼茲的說法,稱這個(gè)量為“x的函數(shù)”,表示為X.1718年,他又明確定義了
5、一個(gè)變量的函數(shù):由這個(gè)變量和常量的任意一種方式構(gòu)成的量,表示為.伯努利強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示了，這是函數(shù)的解析概念的第一次擴(kuò)展。1734年,歐拉引入現(xiàn)在的函數(shù)表示形式:。歐拉就把用算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算和指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算聯(lián)結(jié)變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子,取名為解析函數(shù),并將它分成為“代數(shù)函數(shù)”和“超越函數(shù)”兩類。歐拉用“解析表達(dá)式”替代了約翰的“任意形式”,明確地表述了變量之間相互依賴的變化關(guān)系。也不再強(qiáng)調(diào)函數(shù)一定要用公式來表示,但仍沒有明確函數(shù)是某種對(duì)應(yīng)關(guān)系,也沒有提出函數(shù)可以不用解析式來表示.歐拉對(duì)函數(shù)的重要貢獻(xiàn)是
6、他考慮了用以表示被任意畫出的曲線的函數(shù),并把這種函數(shù)叫做“隨意函數(shù)”。這使得函數(shù)概念為適應(yīng)積分的需要作出了新的推進(jìn)。1797年拉格朗日在他的《解析函數(shù)論》中把一元或多元函數(shù)定義為:自變量在其中可以按任意形式出現(xiàn)并對(duì)計(jì)算有用的表達(dá)式.換句話說,他認(rèn)為,函數(shù)是運(yùn)算的一個(gè)組合.他的代數(shù)分析的實(shí)質(zhì),就是把函數(shù)歸結(jié)為無窮級(jí)數(shù).他希望任何函數(shù)都能表示成他經(jīng)過形式論證,得出他經(jīng)過形式論證,得出傅立葉的工作更根本地改變了函數(shù)的面貌,震驚了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界。他一方面認(rèn)為有限區(qū)間上的函數(shù)未必僅有唯一的表達(dá)式,另一方面又認(rèn)為函數(shù)必須用解
7、析式來表達(dá),這靠他發(fā)明的傅立葉級(jí)數(shù)理論來支持。他證明了任意以π為周期的一個(gè)函數(shù)f(x)在[-π,π]可以由展開,其中 后來人們又證明了不僅僅周期函數(shù),任一連續(xù)函數(shù)在(-π,π)上都可以用正弦或余弦函數(shù)給出?？挛鞯暮瘮?shù)定義;對(duì)于x的每一個(gè)值,如果y有完全確定的值與之對(duì)應(yīng),則y就叫做x的函數(shù)。這樣一來,無論y是用一個(gè)式子表示的,還是用多個(gè)式子表示的,甚至是否要通過式子表示都無關(guān)緊要了,只要對(duì)x的每一個(gè)值,y有完全確定的值與之對(duì)應(yīng),則y就是x的函數(shù)。不過當(dāng)時(shí)柯西在所給函數(shù)定義中,用多個(gè)式子表示函數(shù)情況是在區(qū)間上的函數(shù)
8、,或由等表示情況。著名的黎曼——狄里克雷的出現(xiàn)無疑是給柯西出了個(gè)難題,1837年，他定義函數(shù):對(duì)于x的每一個(gè)值,如果有完全確定的值與之對(duì)應(yīng),不論x,y所建立的對(duì)應(yīng)方式如何,y都叫做x的函數(shù)。這樣,就是一個(gè)函數(shù)了，函數(shù)是不容易用解析式來表達(dá)的。這個(gè)定義和我們現(xiàn)在中學(xué)教科書中的函數(shù)概念已經(jīng)很接近了,它不僅把變量之間的關(guān)系描述為對(duì)應(yīng)變化的關(guān)系,而且就函數(shù)的解析表達(dá)式也做了討論。前面兩個(gè)世紀(jì)的
