質(zhì)點與剛體的運動微分方程

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1、第三篇動力學第三篇動力學返回在靜力學中，我們研究了物體在力系作用下的平衡問題。在運動學中，我們僅從幾何的角度研究物體的運動規(guī)律，而未涉及物體運動變化的原因。在動力學中，我們將研究物體運動的變化與其質(zhì)量、作用于其上的力之間的關(guān)系。可見動力學是理論力學的主體,靜力學只是動力學的特殊情況,運動學是為動力學作必要的準備。動力學是在生產(chǎn)實踐過程中形成和發(fā)展的，隨著現(xiàn)代工業(yè)和科學技術(shù)的發(fā)展，在機械、水利、建筑、采礦、化工、航空航天等工程實際中，都需要應用動力學的基本理論。在土木工程中要解決動力基礎(chǔ)的隔振與減振，橋梁和水壩在動荷載作用下的振動及抗震，高層建筑中出現(xiàn)的新問題等更離不開動力

2、學的理論。我們在動力學部分著重介紹質(zhì)點及剛體的運動微分方程、動能定理、達朗貝爾原理等三部分內(nèi)容，為專業(yè)課的學習和今后的工作打好必要的理論基礎(chǔ)。第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程7.1質(zhì)點運動微分方程7.2剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程返回7.3轉(zhuǎn)動慣量及其計算本章在介紹動力學基本方程的基礎(chǔ)上，給出質(zhì)點及剛體平動、定軸轉(zhuǎn)動、平面運動的運動微分方程，并應用它們求解質(zhì)點和剛體動力學的兩類基本問題。7.4剛體平面運動微分方程目錄7.1質(zhì)點運動微分方程7.1.1動力學基本方程第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程在力學中把大小和形狀可以忽略不計且具有質(zhì)量的

3、物體稱為質(zhì)點。作用于質(zhì)點上的力與質(zhì)點運動之間的關(guān)系，由牛頓第二定律表述如下：質(zhì)點受到力的作用時，所獲得的加速度的大小與力的大小成正比，而與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與力的方向相同。用公式表示為ma=F式中：m——質(zhì)點的質(zhì)量；F——作用于質(zhì)點上的所有力的合力；a——質(zhì)點獲得的加速度。該式是研究質(zhì)點動力學問題的基本依據(jù)，稱為動力學基本方程。第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程根據(jù)動力學基本方程，當質(zhì)點不受力的作用(合力為零)時，其加速度必為零，此時質(zhì)點將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)不變。物體的這種保持運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。兩個質(zhì)點受力相同時，質(zhì)量大的加速度

4、小，說明其運動狀態(tài)不容易改變，即它的慣性大；質(zhì)量小的加速度大，說明其運動狀態(tài)容易改變，即它的慣性小。因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性的度量。目錄7.1.2質(zhì)點運動微分方程第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M，在合力F的作用下沿某一曲線運動，質(zhì)點M的位置用對于坐標原點O的矢徑r表示（如圖），由運動學知該質(zhì)點的加速度a與矢徑r的關(guān)系為xyzOrvaM式中：v——質(zhì)點的速度。將上式代入牛頓第二定律公式得這就是矢量形式的質(zhì)點運動微分方程。在具體計算中，都采用上式的投影形式，根據(jù)坐標系的不同有以下兩種：目錄第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程（1）直角

5、坐標形式的質(zhì)點運動微分方程將公式向直角坐標軸上投影，得式中：x、y、z——質(zhì)點M的坐標；X、Y、Z——各力在x、y、z軸上投影的代數(shù)和。目錄第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程（2）弧坐標形式的質(zhì)點運動微分方程當質(zhì)點M作平面曲線運動時，將公式向質(zhì)點運動軌跡的切向和法向投影，得式中：s——質(zhì)點的弧坐標；v——質(zhì)點的速度；ρ——曲率半徑；F?、Fn——各力在軌跡的切向、法向上投影的代數(shù)和。目錄第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程【7.1】質(zhì)量為m的質(zhì)點M在坐標平面oxy內(nèi)運動（如圖），其運動方程為x=acos?t，y=bsin?t，其中：a、b、?都是

6、常量。求作用于質(zhì)點上的力F。目錄第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程【解】由質(zhì)點的運動方程消去時間t，得可見質(zhì)點的運動軌跡是以a、b為長、短半軸的橢圓。將質(zhì)點的運動方程代入弧坐標形式的運動微分方程，可求得力F的投影為因此力F為F=Xi+Yj=－m?2(xi+yj)或F=－m?2r式中：r——質(zhì)點M的矢徑。可見力F的大小與矢徑r的大小成正比，其方向則與之相反，即力F的方向恒指向橢圓中心，這種力稱為有心力。目錄第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程例7.2液壓減振器（如圖）的活塞在獲得初速度v0后，在液壓缸內(nèi)作直線運動。若液體對活塞的阻力F正比于活塞的速

7、度v，即F=μv，其中μ為比例系數(shù)。求活塞相對于液壓缸的運動規(guī)律，并確定液壓缸的長度值。目錄第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程解把活塞看作一質(zhì)點，作用于活塞上的力為液體的阻力F。如圖所示，取活塞初始位置為坐標原點，建立x軸。列出活塞的運動微分方程或，則上式成為分離變量后進行積分解得活塞的速度為v=v0e-kt目錄第七章質(zhì)點與剛體的運動微分方程質(zhì)點運動微分方程將上式寫為再次積分解得即為活塞的運動規(guī)律。當t→∞時，e-kt→0，由v=v0e-kt可知，活塞的速度趨于零；由上式可知，此時x趨于最大值。由此確定液壓缸的