質點與剛體的運動微分方程

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1、第三篇動力學第三篇動力學返回在靜力學中，我們研究了物體在力系作用下的平衡問題。在運動學中，我們僅從幾何的角度研究物體的運動規(guī)律，而未涉及物體運動變化的原因。在動力學中，我們將研究物體運動的變化與其質量、作用于其上的力之間的關系。可見動力學是理論力學的主體,靜力學只是動力學的特殊情況,運動學是為動力學作必要的準備。動力學是在生產實踐過程中形成和發(fā)展的，隨著現(xiàn)代工業(yè)和科學技術的發(fā)展，在機械、水利、建筑、采礦、化工、航空航天等工程實際中，都需要應用動力學的基本理論。在土木工程中要解決動力基礎的隔振與減振，橋梁和水壩在動荷載作用下的振動及抗震，高層建筑中出現(xiàn)的新問題等

2、更離不開動力學的理論。我們在動力學部分著重介紹質點及剛體的運動微分方程、動能定理、達朗貝爾原理等三部分內容，為專業(yè)課的學習和今后的工作打好必要的理論基礎。第七章質點與剛體的運動微分方程第七章質點與剛體的運動微分方程7.1質點運動微分方程7.2剛體定軸轉動微分方程返回7.3轉動慣量及其計算本章在介紹動力學基本方程的基礎上，給出質點及剛體平動、定軸轉動、平面運動的運動微分方程，并應用它們求解質點和剛體動力學的兩類基本問題。7.4剛體平面運動微分方程目錄7.1質點運動微分方程7.1.1動力學基本方程第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程在力學中把大小和形狀

3、可以忽略不計且具有質量的物體稱為質點。作用于質點上的力與質點運動之間的關系，由牛頓第二定律表述如下：質點受到力的作用時，所獲得的加速度的大小與力的大小成正比，而與物體的質量成反比；加速度的方向與力的方向相同。用公式表示為ma=F式中：m——質點的質量；F——作用于質點上的所有力的合力；a——質點獲得的加速度。該式是研究質點動力學問題的基本依據(jù)，稱為動力學基本方程。第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程根據(jù)動力學基本方程，當質點不受力的作用(合力為零)時，其加速度必為零，此時質點將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)不變。物體的這種保持運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性

4、。兩個質點受力相同時，質量大的加速度小，說明其運動狀態(tài)不容易改變，即它的慣性大；質量小的加速度大，說明其運動狀態(tài)容易改變，即它的慣性小。因此，質量是質點慣性的度量。目錄7.1.2質點運動微分方程第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程設質量為m的質點M，在合力F的作用下沿某一曲線運動，質點M的位置用對于坐標原點O的矢徑r表示（如圖），由運動學知該質點的加速度a與矢徑r的關系為xyzOrvaM式中：v——質點的速度。將上式代入牛頓第二定律公式得這就是矢量形式的質點運動微分方程。在具體計算中，都采用上式的投影形式，根據(jù)坐標系的不同有以下兩種：目錄第七章質點

5、與剛體的運動微分方程質點運動微分方程（1）直角坐標形式的質點運動微分方程將公式向直角坐標軸上投影，得式中：x、y、z——質點M的坐標；X、Y、Z——各力在x、y、z軸上投影的代數(shù)和。目錄第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程（2）弧坐標形式的質點運動微分方程當質點M作平面曲線運動時，將公式向質點運動軌跡的切向和法向投影，得式中：s——質點的弧坐標；v——質點的速度；ρ——曲率半徑；F?、Fn——各力在軌跡的切向、法向上投影的代數(shù)和。目錄第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程【7.1】質量為m的質點M在坐標平面oxy內運動（如圖），其運動方

6、程為x=acos?t，y=bsin?t，其中：a、b、?都是常量。求作用于質點上的力F。目錄第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程【解】由質點的運動方程消去時間t，得可見質點的運動軌跡是以a、b為長、短半軸的橢圓。將質點的運動方程代入弧坐標形式的運動微分方程，可求得力F的投影為因此力F為F=Xi+Yj=－m?2(xi+yj)或F=－m?2r式中：r——質點M的矢徑?？梢娏的大小與矢徑r的大小成正比，其方向則與之相反，即力F的方向恒指向橢圓中心，這種力稱為有心力。目錄第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程例7.2液壓減振器（如圖）的活塞在獲

7、得初速度v0后，在液壓缸內作直線運動。若液體對活塞的阻力F正比于活塞的速度v，即F=μv，其中μ為比例系數(shù)。求活塞相對于液壓缸的運動規(guī)律，并確定液壓缸的長度值。目錄第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程解把活塞看作一質點，作用于活塞上的力為液體的阻力F。如圖所示，取活塞初始位置為坐標原點，建立x軸。列出活塞的運動微分方程或，則上式成為分離變量后進行積分解得活塞的速度為v=v0e-kt目錄第七章質點與剛體的運動微分方程質點運動微分方程將上式寫為再次積分解得即為活塞的運動規(guī)律。當t→∞時，e-kt→0，由v=v0e-kt可知，活塞的速度趨于零；由上式可

8、知，此時x趨于最大值。由此確定液壓缸的