數(shù)學(xué)的工具性理解和關(guān)系性理解——姚敏

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1、數(shù)學(xué)的工具性理解和關(guān)系性理解報告人：姚敏目錄一、理論的背景二、兩類數(shù)學(xué)理解的概述三、案例說明兩類數(shù)學(xué)理解四、理論的課程意義一、理論的背景1.1理解的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系說：希爾伯特認(rèn)為外部表征和內(nèi)部表征存在著聯(lián)系。他認(rèn)為如果一個數(shù)學(xué)概念等成為內(nèi)部表征網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么數(shù)學(xué)知識就被理解了。1.2理解的表征轉(zhuǎn)化說：布魯納將表征分為動作表征、表象表征、書面符號標(biāo)志三類。萊斯又加入了口頭語言表征、現(xiàn)實情境表征，發(fā)展為五類表征。他們都認(rèn)為正是在用不同的表征方式來表征數(shù)學(xué)概念并實現(xiàn)表征方式內(nèi)部之間的轉(zhuǎn)化中，學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)

2、理解。1.3理解的類型層次說：1976年英國著名數(shù)學(xué)教育家及心理學(xué)家RicardR.Skemp(斯根普)從數(shù)學(xué)知識的特征出發(fā)，明確提出了數(shù)學(xué)理解有2種類型——工具性理解、關(guān)系性理解。而在此之前，人們對理解的討論還停留在個體是理解了一個對象還是沒有理解，是部分理解還是全部理解，從未考慮還有不同類型的理解。1.4理解的類型層次說的本土化進(jìn)程：初期，我國認(rèn)識到對概念或法則的學(xué)習(xí)過程而言，工具性理解應(yīng)當(dāng)是其中一個重要的、甚至是不可缺少的環(huán)節(jié)，因而，在教學(xué)中十分注重數(shù)學(xué)工具性理解，采取的多是傳統(tǒng)的定義（定理

3、）-實例-練習(xí)-習(xí)題的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。后期，中國研究者一直認(rèn)為“知其然而不知其所以然”乃是一種機(jī)械記憶，不能歸屬于理解的范圍．新課改以來，更強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)要設(shè)定“過程性目標(biāo)”，即認(rèn)為學(xué)習(xí)必須“知其然而且要知其所以然”，必須揭示知識的發(fā)生過程。學(xué)者大都研究如何從“工具性理解”向“關(guān)系型理解”的轉(zhuǎn)變，加強(qiáng)過程性教學(xué)，卻都未對“工具性理解”的價值做出更多的闡述。二、兩類數(shù)學(xué)理解的概述2.1工具性理解的概念斯根普指出工具性理解是一種語義理解：理解符號A所指代的事物是什么；或者是一種程序性理解，一個規(guī)則R所指定

4、的每一個步驟是什么，如何操作等．簡言之，就是按照語詞的本意和計算程序進(jìn)行操作，即“只知是什么，不知為什么”。2.2關(guān)系性理解的概念斯根普指出關(guān)系性理解則還需對知識意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識，獲得概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等）的途徑，以及規(guī)則本身有效性的邏輯依據(jù)等，簡言之：“不僅知道要做什么，而且知道為什么”。2.3工具性理解的分類1）識記性理解：認(rèn)識并能記憶，例如正弦的定義與符號。2）描述性理解：描述其意義，便于識記．例如負(fù)負(fù)得正，做一些合理性的解釋。3）確認(rèn)性理解：舉例說明其正確，獲得

5、確認(rèn)．例如分?jǐn)?shù)的顛倒相乘．舉一些具體數(shù)字的實例，加以確認(rèn)。4）功能性理解：說明其作用，便于使用．例如直角坐標(biāo)系．關(guān)注原點，表示數(shù)學(xué)對象。5）平臺式理解：接受下來，投入使用．例如數(shù)軸上點和實數(shù)系中的數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系。2.4關(guān)系性理解的分類1）證明性理解：運用邏輯演繹方法展示其生成過程，證明其正確，說明結(jié)論為什么成立，如勾股定理的證明。2）論說性理解：例如函數(shù)概念的形成、實例操作、過程展示、明確對象整體把握概念。3）反思性理解：將本原的理解提升為數(shù)學(xué)思想方法的運用．例如對數(shù)，本原理解是作為指數(shù)運算的逆

6、運算，進(jìn)一步用RMI原理說明乘法運算映射為加法運算形成同構(gòu)關(guān)系。4）結(jié)構(gòu)性理解：用公理化方法揭示其內(nèi)部結(jié)構(gòu)．例如從有理數(shù)公理化體系說明負(fù)負(fù)得正的合理性，揭示其內(nèi)在結(jié)構(gòu)的特質(zhì)。2.5工具性理解的優(yōu)點1）對于數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)而言，這種教學(xué)模式給學(xué)生提供了易懂、易模仿、易記憶并可以很快得到標(biāo)準(zhǔn)性問題的答案的捷徑。2）工具性理解的教學(xué)過程所包含的知識較少，學(xué)生更容易迅速獲得這類問題的正確答案。3）這樣的教學(xué)可以使學(xué)生更快地得到學(xué)習(xí)上的回報有利于引發(fā)其進(jìn)一步的學(xué)習(xí)動機(jī)2.6工具性理解的缺點①工具性理解的教學(xué)模

7、式只關(guān)注學(xué)生能否依據(jù)固定的程序去獲得答案，其它則很少關(guān)注，這使得學(xué)生通常更關(guān)心怎么做而不大去思考為什么可以這樣做及更進(jìn)一步的還可以怎么做等。②不利于學(xué)生在全新的情境內(nèi)去應(yīng)用該知識即遷移，也就不利于其長期的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。2.7關(guān)系性理解的優(yōu)點1）更有益于學(xué)習(xí)者解決新的問題。當(dāng)學(xué)生對知識的理解是關(guān)系性理解時，他們可以把在一種情境中獲得的知識遷移到另一種全新情境的學(xué)習(xí)或問題解決活動中去，而不只是用在相似的情境之中。2）更容易記憶就整個數(shù)學(xué)公式體系而言如果按照工具性理解的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生們需要記憶許多單個

8、的公式，這給記憶帶來很大負(fù)擔(dān)，而關(guān)系性理解則使得學(xué)生通過對于不同公式之間本質(zhì)性關(guān)系的理解去獲得對于公式的整體把握，這樣的學(xué)習(xí)更有利于長時記憶。3）有助于形成高質(zhì)量的知識結(jié)構(gòu)就知識的組織形式而言，數(shù)學(xué)知識的關(guān)系圖式是一種最佳的數(shù)學(xué)知識組織形式，一旦學(xué)生獲得了有效的關(guān)系圖式，則他不但可以對所面臨的數(shù)學(xué)素材采取關(guān)系性理解的學(xué)習(xí)方式，而且還會主動地去探索那些未知新領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)關(guān)系。三、案例說明兩類數(shù)學(xué)理解案例3.1二元一次方程組的理解1）工具性理解①會用消元法、代入法解數(shù)字系數(shù)的二元一次方