平面彎曲梁的剛度與強(qiáng)度計(jì)算

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1、第8章平面彎曲梁的強(qiáng)度與剛度計(jì)算§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力§8.2常用截面二次矩平行移軸公式§8.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算§8.4彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介§8.5梁的彎曲變形概述§8.6用疊加法求梁的變形小結(jié)8.1.1純彎曲試驗(yàn)§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力一矩形等截面簡(jiǎn)支梁AB，其上作用兩個(gè)對(duì)稱的集中力F?！罴虞d前，在CD段表面畫(huà)些平行于梁軸線的縱向線和垂直于梁軸線的橫向線?！罴虞d后，由剪力圖和彎距圖可知AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上同時(shí)有剪力和彎矩，這種彎曲稱為橫彎曲（或稱剪切彎曲）?！钤谥虚g段CD段內(nèi)的各橫截面上，

2、只有彎矩，沒(méi)有剪力，這種彎曲稱為純彎曲?！?.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力☆縱向線彎曲成圓弧線，其間距不變。凸邊的縱向線伸長(zhǎng)，凹邊的縱向線縮短?！顧M向線仍為直線，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)微小角度，并與縱向線垂直。☆梁的高度不變，而梁的寬度在伸長(zhǎng)區(qū)內(nèi)，有所減少，在壓縮區(qū)內(nèi)，有所增大?！?.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力根據(jù)上述現(xiàn)象，可對(duì)梁的變形提出如下假設(shè)：☆平面假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍保持為平面，并垂直于變形后梁的軸線，只是繞著截面上某一軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度?！顔蜗蚴芰僭O(shè)：梁是由無(wú)數(shù)條縱向纖維組成，各纖維之間互不擠壓（即梁的縱向截

3、面上無(wú)正應(yīng)力作用），處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)?！罱Y(jié)論：由以上假設(shè)可知，因梁變形后的橫截面仍與縱向線垂直，所以切應(yīng)變?yōu)榱?，橫截面上無(wú)切應(yīng)力，而只有正應(yīng)力。梁純彎曲變形時(shí)，其內(nèi)凹一側(cè)的纖維層縮短；外凸一側(cè)的纖維層伸長(zhǎng)。二者交界處必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，這一纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性層是梁內(nèi)受拉區(qū)與受壓區(qū)的分界面、是橫截面上拉應(yīng)力與壓應(yīng)力的分界線。中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力等于零，梁變形時(shí)各橫截面均繞中性軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力選取相距為dx的兩相鄰橫截面m-m1和n

4、-n1。8.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力分布設(shè)中性層O1O2曲率半徑為，相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)后形成的夾角為。距中性層處的線應(yīng)變?yōu)椋?.1）§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力8.1.2梁橫截面上的正應(yīng)力分布當(dāng)正應(yīng)力沒(méi)有超過(guò)材料的屈服極限時(shí)，(8.2)§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力8.1.3梁的正應(yīng)力計(jì)算取一微面積dA，作用于dA上的微內(nèi)力為。由于純彎曲時(shí)，橫截面上的內(nèi)力分量只有彎矩M而無(wú)軸力，故橫截面上所有微內(nèi)力在x軸上投影的代數(shù)和應(yīng)等于零。稱為截面對(duì)中性軸z的截面一次矩。因?yàn)楣视兴粤?稱為橫截面對(duì)中性軸z的彎曲截面系數(shù)，單位為

5、§8.1純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力（8.3）又稱慣性矩。（8.4）（8.5）稱為梁截面的抗彎剛度。整理可得純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式：EIz?！?.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.1常用截面二次矩1．矩形截面設(shè)矩形截面的高為h，寬為b，過(guò)形心O作y軸和z軸。取寬為b高為的狹長(zhǎng)條為微面積，（8.6a）（8.6b）（8.6c）（8.6d）§8.2常用截面二次矩平行移軸公式（8.7b）2.圓形截面與圓環(huán)形截面設(shè)圓形截面的直徑為d，y軸和z軸過(guò)形心O。取微面積，其坐標(biāo)為y和z。（8.7a）對(duì)圓環(huán)形截面（8.8a）（

6、8.8b）§8.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.2組合截面二次矩平行移軸公式組合截面對(duì)軸的截面二次矩等于各組成部分對(duì)軸的截面二次矩的代數(shù)和。(8.9)平行移軸公式(8.10)圖形對(duì)任意軸的截面二次軸矩，等于圖形對(duì)于與該軸平行的形心軸的截面二次軸矩，加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。由此可知，對(duì)所有平行軸的截面二次矩中，以通過(guò)形心軸的截面二次矩為最小。此公式的應(yīng)用條件為（1）兩對(duì)軸必須互相平行。（2）其中x、y軸必須是過(guò)形心的軸?！?.2常用截面二次矩平行移軸公式8.2.2組合截面二次矩平行移

7、軸公式例8.1一Ｔ形截面，求其對(duì)中性軸的截面二次矩。解將形截面視為由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ組成。（1）確定形心和中性軸的位置。（2）求各組成部分對(duì)中性軸的截面二次矩（3）T形截面對(duì)中性軸的截面二次矩為：§8.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于脆性材料（8.12）梁的強(qiáng)度條件可解決三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題：校核梁的強(qiáng)度、設(shè)計(jì)梁的截面尺寸和確定梁的許用載荷。梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：（8.11）§8.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例8.2簡(jiǎn)支矩形木梁AB?？缍?，承受均布載荷q=3.6kN/m,木材順紋許用應(yīng)力。設(shè)梁橫截面高度之比為，試選擇梁

8、的截面尺寸。解畫(huà)出梁的彎矩圖可選取的矩形截面。8.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例8.3懸臂梁AB，型號(hào)為No.18號(hào)工字鋼。已知許用應(yīng)力，,不計(jì)梁的自重，試計(jì)算自由端集中力F的最大許可值。解畫(huà)出梁的彎矩圖由強(qiáng)度條件得查手冊(cè)得到No.18號(hào)工字鋼彎曲截面系數(shù)P259③§8.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例8.5已知T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸，已知鑄鐵抗拉許用應(yīng)力，抗壓許用應(yīng)力。試校核梁的強(qiáng)度?！?.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算解（1）由靜力平衡方程求出支座反力為（2）畫(huà)出梁的彎