《自由曲線與曲面》PPT課件

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1、自由曲線和曲面自由曲線和曲面是指那些形狀比較復(fù)雜、不能用初等解析函數(shù)直接表示出來的曲線和曲面。汽車車身、飛機機翼和輪船船體等的曲線和曲面均屬于這一類。一般情況下，它們需要利用插值或逼近的方法，對型值點進行擬合，得到擬合曲線和曲面。8/3/202117.1曲線曲面的參數(shù)表示及連續(xù)性7.1.1曲線曲面的參數(shù)表示如果用u表示參數(shù)，二維空間自由曲線的參數(shù)方程可以記為：x﹦x(u),y﹦y(u)u?[0,1]二維空間曲線上一點的參數(shù)表示為：P(u)﹦[x(u),y(u)]三維空間自由曲線的參數(shù)方程表示為：x﹦x(u),y﹦y(u),z﹦z(u)；u?[0,1]曲線上一點的參數(shù)表示為：

2、P(u)﹦[x(u),y(u),z(u)]同樣，如果用u,w表示參數(shù)，二維空間自由曲面的參數(shù)方程表示為：x﹦x(u,w),y﹦y(u,w)u,w?[0,1]曲面上一點的參數(shù)表示為：P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)]三維空間自由曲面的參數(shù)方程表示為：x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w)；u,w?[0,1]曲面上一點的參數(shù)表示為：P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]。8/3/202127.1.2插值、逼近和擬合給出一組有序的型值點列，根據(jù)應(yīng)用的要求來得到一條光滑曲線，通常采用兩種不同的方法，即插值方法和逼近方法。插值方法要求生成的

3、曲線通過每個給定的型值點。曲線插值方法有多項式插值，分段多項式插值，樣條函數(shù)插值等。逼近方法要求生成的曲線靠近每個型值點，但不一定要求通過每個點。逼近方法有最小二乘法，Bezier方法，B樣條方法等。用插值或逼近來構(gòu)造曲線的方法通稱為曲線擬合方法。8/3/202137.1.3參數(shù)連續(xù)性條件0階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，記作C0連續(xù)，是指曲線相連。即第一個曲線段在u﹦1處的x,y,z值與第二個曲線段在u﹦0處的x,y,z值相等。一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，記作C1連續(xù)，指兩個相鄰曲線段在交點處有相同的一階導(dǎo)數(shù)。二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)，指兩個相鄰曲線段在交點處有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。高階參數(shù)連續(xù)性

4、可類似定義。0階幾何連續(xù)性，記為G0連續(xù)，與0階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性相同。即兩個曲線段在公共點處有相同的坐標。一階幾何連續(xù)性，記為G1連續(xù)，指一階導(dǎo)數(shù)在兩個相鄰段的交點處成比例，而大小不一定相等。二階幾何連續(xù)性，記為G2連續(xù)，指兩個曲線段在相交處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。G2連續(xù)下，兩個曲線段在交點處的曲率相等。8/3/202147.1.4參數(shù)樣條曲線1．樣條曲線在計算機圖形學中，術(shù)語樣條曲線指由多項式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定連續(xù)條件。而樣條曲面可用兩組正交樣條曲線來描述。樣條用來設(shè)計曲線和曲面形狀，典型的CAD應(yīng)用包括汽車、飛機和航天飛機表面設(shè)計以及船殼設(shè)計。2

5、．參數(shù)樣條表示在計算機圖形學應(yīng)用中使用幾種不同的樣條描述。每種描述是一個帶有某特定邊界條件多項式的特殊類型。8/3/20215例如空間一條曲線用三次參數(shù)方程可以表示如下：x(u)﹦axu3﹢bxu2﹢cxu﹢dxy(u)﹦ayu3﹢byu2﹢cyu﹢dyz(u)﹦azu3﹢bzu2﹢czu﹢dzu?[0,1]或P(u)﹦au3﹢bu2﹢cu﹢du?[0,1]如果曲線的邊界條件設(shè)定為端點處滿足給定坐標值P(0)和P(1)，同時端點處的導(dǎo)數(shù)也滿足給定值P’(0)和P’(1)。這四個邊界條件對決定上式中方程的系數(shù)是充分條件。例如已知x(0)、x(1)、x’(0)和x’(1)，則a

6、x、bx、cx和dx就可以求出。解出各個系數(shù)后的上）式就是一種確定的三次參數(shù)樣條表示式。8/3/202167.2三次樣條插值曲線實際上，通常使用的是三次樣條曲線。這是因為三次多項式曲線是能使曲線段的端點通過特定的點，并能使曲線段在連接處保持位置和斜率連續(xù)性的最低階次的多項式。與更高次多項式相比，三次多項式只需較少的計算和存儲且較穩(wěn)定，而更低次多項式又難以用來描述復(fù)雜形狀的曲線。如果想使用三次樣條獲得一條通過各個型值點的連續(xù)曲線，需要利用三次樣條分段插值得到通過每個型值點的分段三次樣條曲線。對n+1個型值點，分段插值時段與段之間要建立合適的邊界條件，既能使各段之間平滑連續(xù)，又

7、可建立起足夠的方程數(shù)，求出所有的系數(shù)。8/3/202177.2.1Hermite樣條插值曲線Hermite樣條插值（以法國數(shù)學家CharlesHermite命名）使用型值點和型值點處的一階導(dǎo)數(shù)建立邊界條件。設(shè)Pk和Pk+1為第K個和第K+1個型值點，Hermite樣條插值邊界條件規(guī)定為：P(0)﹦PkP(1)﹦Pk+1P’(0)﹦DkP’(1)﹦Dk+1其中，Dk和Dk+1分別為Pk和Pk+1處的一階導(dǎo)數(shù)。將參數(shù)方程寫成矩陣形式為：8/3/20218將邊界條件P(0)﹦Pk和P(1)﹦Pk+1代入方程得：Pk﹦dP