自由曲線與曲面(I)

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1、第4章自由曲線曲面4.1概述4.2參數(shù)曲線基礎4.3曲線曲面擬合方法4.4參數(shù)多項式曲線4.5三次Hermite曲線4.6Bezier曲線4.7B樣條曲線14.1概述曲線的分類規(guī)則曲線自由曲線隨機曲線24.1概述研究分支計算幾何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest給出正式定義CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfeld,美國Utah大學的一次國際會議上提出34.1概述研究內(nèi)容對幾何外形信息的計算機表示對幾何外形信息的分析與綜合對幾何外形信息的控制與顯示44.1概述對形狀數(shù)學描

2、述的要求？從計算機對形狀處理的角度來看（1）唯一性（2）幾何不變性對在不同測量坐標系測得的同一組數(shù)據(jù)點進行擬合，用同樣的數(shù)學方法得到的擬合曲線形狀不變。54.1概述（3）易于定界（4）統(tǒng)一性：統(tǒng)一的數(shù)學表示，便于建立統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫標量函數(shù)：平面曲線y=f(x)空間曲線y=f(x)z=g(x)矢量函數(shù)：平面曲線P(t)=[x(t)y(t)]空間曲線P(t)=[x(t)y(t)z(t)]64.1概述從形狀表示與設計的角度來看（1）豐富的表達能力：表達兩類曲線曲面（2）易于實現(xiàn)光滑連接（3）形狀易于預測、控制和修改（4）幾何意義直觀，設計不必考慮其數(shù)學表達7自由曲線曲面的發(fā)展過程目標：美

3、觀，且物理性能最佳1963年，美國波音飛機公司，F(xiàn)erguson雙三次曲面片1964~1967年，美國MIT，Coons雙三次曲面片1971年，法國雷諾汽車公司，Bezier曲線曲面1974年，美國通用汽車公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B樣條曲線曲面1975年，美國Syracuse大學，Versprille有理B樣條80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法8第4章自由曲線曲面4.1概述4.2參數(shù)曲線基礎4.3曲線曲面擬合方法4.4參數(shù)多項式曲線4.5三次Hermite曲線4.6Bezier曲線4.7B樣條曲線94.2參數(shù)曲線基礎曲線的表示形式

4、非參數(shù)表示顯式表示隱式表示10顯式或隱式表示存在下述問題：1）與坐標軸相關；2）會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形(如垂線)；3)不便于計算機編程。4.2參數(shù)曲線基礎114.2參數(shù)曲線基礎參數(shù)表示:曲線上任一點的坐標均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點P可表示為參數(shù)的含義時間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]124.2參數(shù)曲線基礎參數(shù)矢量表示形式直線段的參數(shù)表示圓的參數(shù)表示13參數(shù)表示的優(yōu)點：1）以滿足幾何不變性的要求。2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀3）對曲線、曲面進行變換，可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換。4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而

5、中斷計算。4.2參數(shù)曲線基礎14（5）便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1]，使其相應的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。4.2參數(shù)曲線基礎15曲線間連接的光滑度的度量有兩種：參數(shù)連續(xù)性：幾何連續(xù)性：4.2參數(shù)曲線基礎164.2參數(shù)曲線基礎參數(shù)連續(xù)性傳統(tǒng)的、嚴格的連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導數(shù)存在，并且滿足記號174.2參數(shù)曲線基礎幾何連續(xù)性直觀的、易于交互控制的連續(xù)性0階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處位置連續(xù)，即記

6、為1階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處1階幾何連續(xù)，如果它在該處,并且切矢量方向連續(xù)記為184.2參數(shù)曲線基礎2階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處2階幾何連續(xù)，如果它在處（1）（2）副法矢量方向連續(xù)（3）曲率相等密切面從切面法平面TBN主法線19我們已經(jīng)看到，連續(xù)保證連續(xù)，連續(xù)能保證連續(xù)，但反過來不行。也就是說連續(xù)的條件比連續(xù)的條件要苛刻。4.2參數(shù)曲線基礎20第4章自由曲線曲面4.1概述4.2參數(shù)曲線基礎4.3曲線曲面擬合方法4.4參數(shù)多項式曲線4.5三次Hermite曲線4.6Bezier曲線4.7B樣條曲線214.3曲線曲面擬合方法已知條件一系列有序的離散數(shù)據(jù)點型值點控制點邊界

7、條件連續(xù)性要求224.3曲線曲面擬合方法生成方法插值點點通過型值點插值算法：線性插值、拋物樣條插值、Hermite插值逼近提供的是存在誤差的實驗數(shù)據(jù)最小二乘法、回歸分析擬合提供的是構造曲線的輪廓線用的控制點Bezier曲線、B樣條曲線等23第4章自由曲線曲面4.1概述4.2參數(shù)曲線基礎4.3曲線曲面擬合方法4.4參數(shù)多項式曲線4.5三次Hermite曲線4.6Bezier曲線4.7B樣條曲線244.4參數(shù)多項式曲線為什么采用參數(shù)多項式曲線表示最簡單理論和應用最成熟定義--n次多項