自由曲線與曲面(III)

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1、（一）皖西學(xué)院何宏儒第三章自由曲線與曲面1哈工大計算機學(xué)院蘇小紅概述曲線的分類規(guī)則曲線自由曲線隨機曲線2哈工大計算機學(xué)院蘇小紅概述研究分支計算幾何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest給出正式定義CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfeld,美國Utah大學(xué)的一次國際會議上提出3哈工大計算機學(xué)院蘇小紅概述研究內(nèi)容對幾何外形信息的計算機表示對幾何外形信息的分析與綜合對幾何外形信息的控制與顯示4哈工大計算機學(xué)院蘇小紅概述對形狀數(shù)學(xué)描述的要求？從計算機對形狀處理

2、的角度來看（1）唯一性（2）幾何不變性對在不同測量坐標(biāo)系測得的同一組數(shù)據(jù)點進行擬合，用同樣的數(shù)學(xué)方法得到的擬合曲線形狀不變。5哈工大計算機學(xué)院蘇小紅概述（3）易于定界（4）統(tǒng)一性：統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表示，便于建立統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫標(biāo)量函數(shù)：平面曲線y=f(x)空間曲線y=f(x)z=g(x)矢量函數(shù)：平面曲線P(t)=[x(t)y(t)]空間曲線P(t)=[x(t)y(t)z(t)]6哈工大計算機學(xué)院蘇小紅概述從形狀表示與設(shè)計的角度來看（1）豐富的表達能力：表達兩類曲線曲面（2）易于實現(xiàn)光滑連接（3）形狀易于預(yù)測、控制和修改（4）幾何意義直觀，設(shè)計不必考慮其數(shù)學(xué)表達7哈工

3、大計算機學(xué)院蘇小紅自由曲線曲面的發(fā)展過程目標(biāo)：美觀，且物理性能最佳1963年，美國波音飛機公司，F(xiàn)erguson雙三次曲面片1964~1967年，美國MIT，Coons雙三次曲面片1971年，法國雷諾汽車公司，Bezier曲線曲面1974年，美國通用汽車公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B樣條曲線曲面1975年，美國Syracuse大學(xué)，Versprille有理B樣條80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法8哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)曲線基礎(chǔ)（1/6）曲線的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示9哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)曲線基

4、礎(chǔ)（2/6）參數(shù)表示參數(shù)的含義時間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]10哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)曲線基礎(chǔ)（3/6）參數(shù)矢量表示形式例子：直線段的參數(shù)表示11哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)曲線基礎(chǔ)（4/6）參數(shù)連續(xù)性傳統(tǒng)的、嚴格的連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導(dǎo)數(shù)存在，并且滿足記號12哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)曲線基礎(chǔ)（5/6）幾何連續(xù)性直觀的、易于交互控制的連續(xù)性0階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處位置連續(xù)，即記為1階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處1階幾何連續(xù)，如果它在該處,并且切矢量方向連續(xù)記為1

5、3哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)曲線基礎(chǔ)（6/6）2階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處2階幾何連續(xù)，如果它在處（1）（2）副法矢量方向連續(xù)（3）曲率連續(xù)14哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)表示的好處有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算設(shè)計或表示形狀更直觀，許多參數(shù)表示的基函數(shù)如Bernstein基和B樣條函數(shù)，有明顯的幾何意義15哈工大計算機學(xué)院蘇小紅曲線曲面擬合方法已知條件的表示方法一系列有序的離散數(shù)據(jù)點型值點控制點邊界條件連續(xù)性要求16哈工大計算機學(xué)院蘇小紅曲線曲面擬合方法生成方法插值點點通過型值點插值算法：線性插值、拋物樣條

6、插值、Hermite插值逼近提供的是存在誤差的實驗數(shù)據(jù)最小二乘法、回歸分析提供的是構(gòu)造曲線的輪廓線用的控制點Bezier曲線、B樣條曲線等擬合17哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)多項式曲線（1/4）為什么采用參數(shù)多項式曲線表示最簡單理論和應(yīng)用最成熟定義--n次多項式曲線18哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)多項式曲線（2/4）矢量表示形式加權(quán)和形式缺點沒有明顯的幾何意義與曲線的關(guān)系不明確，導(dǎo)致曲線的形狀控制困難19哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)多項式曲線（3/4）矩陣表示矩陣分解幾何矩陣控制頂點基矩陣M確定了一組基函數(shù)20哈工大計算機學(xué)院蘇小紅參數(shù)多項式曲線（4/4）例子—直

7、線段的矩陣表示P0P1P0+P1幾何矩陣G基矩陣MT21哈工大計算機學(xué)院蘇小紅三次Hermite曲線(1/7)定義給定4個矢量，稱滿足條件的三次多項式曲線P(t)為Hermite曲線P0P1R0R122哈工大計算機學(xué)院蘇小紅三次Hermite曲線(2/7)矩陣表示條件23哈工大計算機學(xué)院蘇小紅三次Hermite曲線(3/7)合并解24哈工大計算機學(xué)院蘇小紅三次Hermite曲線(4/7)基矩陣與基函數(shù)（調(diào)和函數(shù)）25哈工大計算機學(xué)院蘇小紅三次Hermite曲線(5/7)形狀控制改變端點位置矢量調(diào)節(jié)切矢量的方向調(diào)節(jié)切矢量的長度26哈工大計算機學(xué)院蘇小紅三次He

8、rmite曲線(6/7)三次參數(shù)樣條曲線樣條?曲線的