《階微分方程》PPT課件(I)

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1、5.3二階微分方程主要內(nèi)容1.可降階的二階微分方程2.二階常系數(shù)線性微分方程1一、可降階的二階微分方程這類二階微分方程的特點(diǎn)是，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q將二階微分方程化為一階微分方程，然后用前一節(jié)介紹的方法來求解．下面介紹三種可降階的二階微分方程的解法.2就得到一個(gè)一階微分方程，即兩邊再積分，即連續(xù)積分兩次就能得到方程（1）的通解．只要連續(xù)積分n次，即可得到含有n個(gè)任意常數(shù)的通解．是最簡(jiǎn)單的二階微分方程，（1）方程兩邊積分，得同理，對(duì)于方程（2）3例1解對(duì)所給的方程連續(xù)積分三次，得這就是所求方程的通解．4因而方程(3)就變?yōu)檫@是一個(gè)關(guān)于變量x,p的一階微分方程，可以用前一節(jié)所介紹的方法求解．方程(3)

2、的右邊不顯含未知函數(shù)y．5例2解這是關(guān)于p的一階線性非齊次微分方程．因?yàn)閺亩笪⒎址匠痰耐ń鉃橛谑羌此?例3解代入方程并分離變量后，得兩端積分，得再積分，得即所以于是所求的特解為7為了求出它的解，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，于是方程(4)就變?yōu)檫@是一個(gè)關(guān)于變量y,p的一階微分方程.設(shè)它的通解為分離變量并積分，得方程(4)的通解為方程(4)中不顯含自變量x．8例4解方程不顯含自變量x，代入方程，得那么約去p并分離變量，得兩端積分并進(jìn)行化簡(jiǎn)，得再一次分離變量并積分，得顯然它也滿足原方程．如果p?0，或或如果P=0，那么立刻可得y=C，已被包含在解中了但y=C所以方程的通解為9例5解兩邊積分，得即

3、為所求的滿足初始條件的特解．代入原式，得即或積分后，得代入上式整理后得10二、二階常系數(shù)線性微分方程定義１方程(5)叫做二階常系數(shù)線性微分方程，其中p、q是常數(shù)．下面來討論二階常系數(shù)線性微分方程的解法．方程(5)叫做二階常系數(shù)線性微分方程．方程(5)叫做二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.111．二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解定理1這個(gè)定理表明了線性齊次微分方程的解具有疊加性．疊加起來的解(7)從形式上看含有與兩個(gè)任意常數(shù)，但它還不一定是方程(6)的通解．先討論二階常系數(shù)線性齊次微分方程(6)的解的結(jié)構(gòu)．那么(7)也是方程(6)的解，其中是任意常數(shù)．12那么在什么情況下(7)式才是(6)式的通解

4、呢？為了解決這個(gè)問題，下面給出函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義：因此，當(dāng)時(shí)，如果不恒等于一個(gè)常數(shù)，則與就是線性無關(guān)的．顯然，對(duì)于兩個(gè)線性相關(guān)的函數(shù)和，恒有對(duì)于兩個(gè)都不恒等于零的函數(shù)與，那么把函數(shù)與叫做線性相關(guān)；否則就叫做線性無關(guān)．如果存在一個(gè)常數(shù)C使，13二階常系數(shù)線性齊次微分方程(6)的通解結(jié)構(gòu)定理：由此可知，求二階常系數(shù)線性齊次微分方程(6)的通解，定理2就是方程(6)的通解，其中是任意常數(shù)．關(guān)鍵在于求出方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解和．而當(dāng)r為常數(shù)時(shí)，指數(shù)函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都只相差一個(gè)常數(shù)因子．因此，我們可以設(shè)想二階常系數(shù)齊次方程式的特解也是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，只要求出r,便可得到方程(6)的解．如果

5、函數(shù)是常系數(shù)線性齊次微分方程(6)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，那么14所以上式要成立就必須有(8)反之，若r是方程(8)的一個(gè)根，特征方程的根稱為特征根．方程(8)是以r為未知數(shù)的二次方程，我們把它稱為微分方程(6)的特征方程，這就是說，如果函數(shù)是方程(6)的解，那么r必須滿足方程(8)．將和它的一、二階導(dǎo)數(shù)代入方程(6)，得到因?yàn)?，則是方程(6)的一個(gè)特解．其中和r的系數(shù)，以及常數(shù)項(xiàng)恰好依次是微分方程(6)中、及y的系數(shù)．15特征根是一元二次方程的根，因此它有三種不同的情況：(1)特征根是兩個(gè)不相等的實(shí)根r1≠r2，且線性無關(guān)，此時(shí)均為方程(6)的特解，因此方程(2)的通解為:（9)(2)特征根

6、是兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2，此時(shí)和方程(2)的特解，且線性無關(guān)，所以方程(6)的通解為：（10）(3)特征根是一對(duì)共軛復(fù)根r1,2=α±βi，這時(shí)和是方程(6)的兩個(gè)特解，但這兩個(gè)解含有復(fù)數(shù)，此時(shí)可以證明函數(shù)和也是方程(6)的解，且它們線性無關(guān)．于是得方程(2)的通解為：（11)16例6解所給方程的特征方程為其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)特解為求方程的通解．解得特征根為，所以方程的通解為17例7解為確定滿足初始條件的特解，對(duì)y求導(dǎo)，得求方程的滿足初始條件和的特解．所給方程的特征方程為所以特征根為因此方程的通解為將初始條件和代入以上兩式，得解得于是，原方程的特解為18例8解所以原方程的通解為其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)

7、線性無關(guān)特解為求方程的通解．特征方程為特征根為19綜上所述，的根特征方程方程通解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根(3)根據(jù)兩個(gè)特征根的不同情況，按照下表寫出微分方程(6)的通解：求二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解步驟如下：（6）(2)求出特征方程的兩個(gè)根與；(1)寫出方程對(duì)應(yīng)的特征方程；20三、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解定理3Y是與方程（5）對(duì)應(yīng)的齊次方程（6）的通解，那么由這個(gè)定理可知：求