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1、一階微分方程的習題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分方程應用問題解法及應用第七章一、一階微分方程求解1.一階標準類型方程求解關鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標準類型方程求解變量代換法代換因變量代換某組合式三個標準類型可分離變量方程齊次方程線性方程代換自變量例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解(2)這是一個齊次方程，令y=ux,化為分離變量方程:方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為例2.求下列方程的通解:提
2、示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(伯努利方程)(分離變量方程)原方程化為令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為例3.設F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表達式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:(2)由一階線性微分方程解的公式得于是練習題:(題3只考慮方法及步驟)P353題2求以為通解的微分方程.提示:消去C得P353題3求下列微分方程的
3、通解:提示:令u=xy,化成可分離變量方程:提示:這是一階線性方程,其中P353題1，2，3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10)提示:可化為關于x的一階線性方程提示:為伯努利方程,令提示:可化為伯努利方程令公式提示:為可降階方程,令原方程化為,即則故原方程通解提示:令例4.設河邊點O的正對岸為點A,河寬OA=h,一鴨子從點A游向點二、解微分方程應用問題利用共性建立微分方程,利用個性確定定解條件.為平行直線,且鴨子游動方向始終朝著點O,提示:如圖所示建立坐標系.設時刻t鴨子位于點P(x,y),設鴨
4、子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動的軌跡方程.O,水流速度大小為a,兩岸則關鍵問題是正確建立數(shù)學模型,要點:則鴨子游速b為定解條件由此得微分方程即鴨子的實際運動速度為(自己求解)(齊次方程)思考:能否根據(jù)草圖列方程?練習題:P354題5,6P354題5.已知某曲線經(jīng)過點(1,1),軸上的截距等于切點的橫坐標,求它的方程.提示:設曲線上的動點為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點處切線方程為它的切線在縱P354題6.已知某車間的容積為的新鮮空氣問每分鐘應輸入多少才能在30分鐘后使車間空
5、的含量不超過0.06%?提示:設每分鐘應輸入t時刻車間空氣中含則在內(nèi)車間內(nèi)兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入,的改變量為t=30時解定解問題因此每分鐘應至少輸入250新鮮空氣.初始條件得k=?作業(yè)P3043,7;P310*4(2);P3157(2),(4)
