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《偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、1.偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念一.偏導(dǎo)數(shù)設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義是的內(nèi)點.若(常數(shù)),一元函數(shù)在可導(dǎo),即極限存在,則稱此極限是函數(shù)在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù),表為類似若(常數(shù)),一元函數(shù)在可導(dǎo),即極限存在,則稱此極限是函數(shù)在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù),表為若函數(shù)在區(qū)域任意都存在關(guān)于(關(guān)于)的偏導(dǎo)數(shù),則稱函數(shù)在區(qū)域存在關(guān)于(關(guān)于)的偏導(dǎo)數(shù),也簡稱偏導(dǎo)數(shù),表為一般情況下元函數(shù)在點關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)是極限由此可見,多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就是多元函數(shù)分別關(guān)于每一個自變量的導(dǎo)數(shù),因此可按一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式來求偏導(dǎo)數(shù)二.全微分對于一元函數(shù)，我們曾研究過關(guān)于的微分，它
2、具有兩個特性，即;(i)它與自變量的改變量成比例，即，(ii)當(dāng)自變量的改變量充分小時，它與函數(shù)的改變量之差是較自變量的改變量為更高階的無窮小量,現(xiàn)在我們討論多元函數(shù)情形，例如，對于二元函數(shù)，我們也從同樣的思想出發(fā)，引進(jìn)如下定義.全微分的定義若函數(shù)的全改變量可表示為且其中與，無關(guān)而僅與，有關(guān)，則稱函數(shù)在點可微，并稱為在點的全微分，記為或，即若在點可微，則有這就是說若在點可微，則存在且等于.完全一樣地可以證明此時也存在且等于.故有定理若及在點及其一領(lǐng)域內(nèi)存在，且在這一點它們都連續(xù)，則函數(shù)在該點可微.例4設(shè)，則有..例5寫
3、出的全微分.三、高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分類似于一元函數(shù)，可以定義高階偏導(dǎo)數(shù)，就二元函數(shù)來說及仍是，的二元函數(shù)，還可以討論它們關(guān)于或的偏導(dǎo)數(shù)，這些就稱為函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).例如，關(guān)于再求偏導(dǎo)數(shù)，即就稱為關(guān)于的二階偏導(dǎo)數(shù)，記為或，也可記為.相仿地，還有二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)一共有四個，其中和稱為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣，還可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)，如，或記為，或記為等等.例6設(shè)（1），（2）求二階偏導(dǎo)數(shù).定理若及在點都連續(xù)，則.定理若在點都連續(xù)，則
