常微分方程第11講

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1、§3.4奇解一、包絡(luò)二、奇解三、克萊羅(Clairaut)方程一、包絡(luò)定義1：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：其中為參數(shù).若存在一條曲線滿足下列條件:(1)(2)對(duì)任意的存在唯一的使得且與在有相同的切線.則稱為曲線族的一條包絡(luò)線,簡(jiǎn)稱為包絡(luò).例如，單參數(shù)曲線族：（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓.如圖R從圖形可見(jiàn),此曲線族有包絡(luò):y=R和y=-R.但是,并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).例如:單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.如圖從圖形可見(jiàn),此曲線族沒(méi)有包絡(luò).問(wèn)題:對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族:其中為參數(shù).

2、如何判斷它是否有包絡(luò)?如果有包絡(luò),如何求?根據(jù)定義,假設(shè)該單參數(shù)曲線族有包絡(luò)則對(duì)任意的存在唯一的使得于是得到對(duì)應(yīng)關(guān)系:從而得到二元函數(shù)使得若可用參數(shù)形式表示為:記則于是,任取一個(gè)固定點(diǎn)M,則M在某一條曲線上.由于與現(xiàn)在在M點(diǎn)有相同的切線,因?yàn)榕c在M點(diǎn)的切線的斜率分別為與所以,有從而由于在上不同的點(diǎn)也在不同的上,即因此因此,包絡(luò)線任意一點(diǎn)M不僅要滿足而且還要滿足定義2:把聯(lián)立方程組:中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線稱為曲線族的c-判別曲線定理1(包絡(luò)的必要條件):設(shè)及其各一階偏導(dǎo)數(shù)是(x,y,c)的連續(xù)函數(shù),且有連續(xù)

3、光滑的包絡(luò),則包絡(luò)必位于的c-判別曲線中.注:的包絡(luò)是c-判別曲線,但c-判別曲線未必是包絡(luò).因此從c-判別曲線分解出來(lái)的一支或數(shù)支曲線是否為的包絡(luò),尚需按定義作進(jìn)一步的驗(yàn)證.例1:的包絡(luò).解:記則消去參數(shù)c,得于是和是兩支c-判別曲線.經(jīng)驗(yàn)證,和是的包絡(luò).例2:求直線族:的包絡(luò).這里是參數(shù),是常數(shù).解:記則消去參數(shù)得的c-判別曲線:經(jīng)驗(yàn)證是曲線族的包絡(luò).如圖:Oxy例3:求曲線族的包絡(luò).解:記則消去參數(shù)c:由(2)得(3)代入(1),得化簡(jiǎn)得于是,的兩支c-判別曲線為:將代入(2),得于是得到一支c-判別曲線將代入(2),得另一支

4、c-判別曲線顯然,考察因?yàn)閷?duì)任意的則有解之得,對(duì)切線不存在;對(duì)在點(diǎn)的切線的斜率為所以不是的包絡(luò);考察對(duì)任意的則有因?yàn)樗杂谑?在點(diǎn)的切線的斜率為所以是的包絡(luò).xyO二、奇解定義3：對(duì)于一階微分方程F（x,y,y’）=0.如果存在一條曲線滿足下列條件：(1)為方程的一條積分曲線;(2)上每點(diǎn)處至少還有另外一條積分曲線經(jīng)過(guò),且兩者在該點(diǎn)相切.則稱曲線(即積分曲線)為方程F(x,y,y’)=0的一條奇積分曲線,所對(duì)應(yīng)的解稱為奇解.注:方程F(x,y,y’)=0的奇解是這樣的一個(gè)解,使的在它上面的每一點(diǎn)處,存在唯一性不成立.問(wèn)題:給定一個(gè)具

5、體的微分方程F(x,y,y’)=0,如何求它的奇解呢?結(jié)果:對(duì)于一階微分方程F(x,y,y’)=0,設(shè)是它的通解.如果積分曲線族的包絡(luò)存在,則包絡(luò)就是方程F(x,y,y’)=0的一條奇積分曲線,即所對(duì)應(yīng)的解就是方程F(x,y,y’)=0的奇解.例4:求微分方程的奇解.解:令求得它的通解為:令消去參數(shù)c,得到和經(jīng)檢驗(yàn):不是的包絡(luò),從而不是方程的奇解(實(shí)際上不是方程的解);是的包絡(luò),從而是方程的奇解.問(wèn)題:能否不通過(guò)求方程F(x,y,y’)=0的通解,而由方程F(x,y,y’)=0本身求的奇解呢?由隱方程的存在唯一性定理(p76):對(duì)于

6、如果但則初值問(wèn)題:在(h為足夠小的正數(shù))上存在唯一解.因此,方程F(x,y,y’)=的奇解,如果存在的話,必含在從方程組:消去參數(shù)p而得到的曲線中.定義4:對(duì)于微分方程F(x,y,y’)=0,從方程組:消去參數(shù)p而得到的曲線稱為方程F(x,y,y’)=0的p-判別曲線.定理2:設(shè)F(x,y,p)及其各一階偏導(dǎo)數(shù)是(x,y,p)的連續(xù)函數(shù).若微分方程F(x,y,y’)=0有奇積分曲線,則它必含在F(x,y,y’)=0的附注:p-判別曲線中.從方程F(x,y,y’)=0中分解出來(lái)的一支或數(shù)支曲線是否為方程F(x,y,y’)=0的奇積分曲

7、線,即奇解,需要作進(jìn)一步驗(yàn)證:該支曲線是方程F(x,y,y’)=0的積分曲線;(2)該曲線上任一點(diǎn)處至少還有F(x,y,y’)=0的另外一條積分曲線經(jīng)過(guò),且兩者在該點(diǎn)相切.如果(1)不成立,則該支曲線根本就不是積分曲線;如果(1)成立,而(2)不成立,則該支曲線僅是一般的積分曲線,不是奇積分曲線只有當(dāng)(1)和(2)同時(shí)成立時(shí),該支曲線才是奇積分曲線,即奇解.進(jìn)一步,可以證明:定理2*:奇解必須同時(shí)適合方程組:并且只有當(dāng)上述三個(gè)方程之一,比如是其它兩個(gè)方程的結(jié)果時(shí),奇解才有可能存在.例5:求微分方程的奇解.解:令消去p(實(shí)際上p=0)

8、,得到p-判別曲線即可以證明,和是方程的奇解.例6:求微分方程的奇解.解:令消去p:得到p-判別曲線:即和經(jīng)驗(yàn)證:是方程的奇解;而不是方程的奇解,實(shí)際上,它不是方程的解.xyO三、克萊羅（Clairaut）方程定義5：形如的方程，稱為